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局部曲率总量为什么等于全局拓扑数？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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11. Gauss–Bonnet 定理

对紧致定向曲面$M$，有边界版本为

$$\boxed{ \int_MK,dA +\int_{\partial M}k_g,ds +\sum_i\theta_i =2\pi\chi(M) }$$

其中$k_g$ 是边界测地曲率，$\theta_i$ 是分段光滑边界的外转角。

闭曲面没有边界：

$$\int_MK,dA=2\pi\chi(M).$$

于是：

• 球面：$\chi=2$，总曲率$4\pi$；
• 环面：$\chi=0$，总曲率 0；
• 亏格$g>1$：总曲率$4\pi(1-g)<0$。

Gauss–Bonnet 把局部微分几何量$K$ 与全局拓扑量$\chi$ 精确联系起来，是计算共形几何的核心支柱。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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