CCG G04：几何偏微分方程与变分法
模块定位
核心问题：调和映射、Yamabe 方程、热流与 Monge-Ampère 方程共享怎样的变分结构？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F03 PDE
- F05 数值优化
- 模块 03 曲面几何
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| G04-01 | Euler-Lagrange 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-02 | 一阶与二阶变分 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-03 | 调和函数和调和映射 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-04 | 热方程与梯度流 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-05 | Poisson 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-06 | Yamabe 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-07 | Liouville 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-08 | Beltrami 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-09 | Monge-Ampère 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-10 | 弱解与正则性 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-11 | 最大值原理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-12 | 有限元弱形式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G04-13 | 非线性椭圆方程 Newton 法 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- Dirichlet 原理
- 调和映射存在性框架
- 二维共形曲率变换公式
- Monge-Ampère 的 Aleksandrov 解思想
- 能量耗散与梯度流
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 从能量推导 PDE
- 写出弱形式与边界项
- 把非线性几何 PDE 离散为可迭代系统
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/geometric-pde/
更新于：2026年10月12日