本课只解决一个问题

看到下面这行时，怎样知道每个符号在说什么？

$$E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2.$$

现在不需要理解这个能量的几何意义。本课只训练一件事：把公式翻译成可以逐步执行的语言。

读完以后，你应该能区分对象、运算、条件和结论，并且知道自己究竟卡在哪个符号上。

1. 公式首先是一句话

普通句子有名词、动词和修饰语。公式也一样：

例如

$$x^2+1=5$$

应读成：“寻找一个数$x$，使$x$ 的平方加一等于五。”这里$x^2+1$ 是表达式，整行是方程。

2. 变量、常量与下标

$x$ 是变量，表示它可以取不同值。$\pi$ 通常表示固定常数。字母本身没有神秘含义，含义由上下文声明。

下标用来区分同类对象：

$$u_1,u_2,u_3$$

表示三个量，而不是$u\times1,u\times2,u\times3$。在网格里，$u_i$ 常表示第$i$ 个顶点的二维坐标。

双下标$w_{ij}$ 表示一个同时依赖$i,j$ 的量，例如顶点$i$ 和顶点$j$ 之间的边权。

3. 三种经常混淆的等号

3.1 相等关系

$$2+3=5$$

两边已经是同一个数。

3.2 定义

$$f(x):=x^2+1$$

$:=$ 读作“定义为”。这是在规定名字$f$ 的含义。

3.3 程序赋值

x = x + 1

这不是数学等式，而是“先读取旧的$x$，加一，再把结果保存为新的$x$”。数学中不可能有$x=x+1$，程序中却可以赋值。

4. 集合与属于

集合是一批对象组成的整体：

$$V=\{0,1,2,3\}.$$

$i\in V$ 读作“$i$ 属于集合$V$”。$i\notin V$ 表示不属于。

网格通常写作

$$M=(V,E,F),$$

其中$V$ 是顶点集合，$E$ 是边集合，$F$ 是三角形集合。此处括号不是乘法，而是在说一个网格由三类数据组成。

5. 求和符号怎样执行

先看有限求和：

$$\sum_{i=1}^{3}i^2=1^2+2^2+3^2=14.$$

执行顺序是：

1. 令$i=1$，计算$i^2$；
2. 再令$i=2$；
3. 再令$i=3$；
4. 把三次结果相加。

再看网格求和：

$$\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2.$$

它表示“遍历每条边$(i,j)$，计算该边的一项，再全部相加”。上标和下标共同规定了遍历范围。

6. 一个完整的逐字翻译

回到开头的公式：

$$E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2.$$

逐字解释：

• $u$：所有顶点的新坐标组成的整体；
• $E(u)$：把坐标$u$ 输入函数$E$ 后得到的数；
• $(i,j)\in E$：遍历每条网格边；
• $u_i-u_j$：边两端坐标的差；
• $\|u_i-u_j\|$：这个差向量的长度；
• 平方：让正负方向不影响结果，并更重地惩罚大差异；
• $w_{ij}$：这一条边的重要程度；
• $\sum$：把所有边的贡献相加；
• $1/2$：便于后面求导，不改变最小值位置。

所以整句是：“把每条边两端坐标差的平方按权重相加，得到坐标配置$u$ 的能量。”

7. 先检查“类型”，再计算

公式错误常常不是算错，而是类型不匹配。若$u_i\in\mathbb R^2$，则：

两个向量可以相加；一个二维向量不能直接等于一个普通数字。以后读矩阵公式，也先做这种类型检查。

8. 常见误区

1. 字母相同不保证含义相同，必须看当前文章的定义。
2. $f(x)$ 不是$f\times x$，而是把$x$ 输入函数$f$。
3. $E$ 既可能是边集合，也可能是能量函数；同一公式中应避免重名。
4. “公式看懂”不是背住形状，而是能把每个符号翻译出来。

9. 自测与答案

题 1。 把$S=\sum_{i=0}^{2}(i+1)$ 展开。

答案。$S=(0+1)+(1+1)+(2+1)=6$。

题 2。 若$p_i\in\mathbb R^3$，那么$p_i-p_j$ 和$\|p_i-p_j\|$ 分别是什么类型？

答案。 前者是三维向量，后者是非负标量。

题 3。 用一句中文解释$L=\sum_{(i,j)\in E}\|p_i-p_j\|$。

答案。 遍历所有边，把每条边的长度相加，得到网格总边长。

下一课

00-02 函数与坐标：输入、输出和参数化