00 数学语言

这个模块为何必须先学 旧版课程从流形、基本群和 Hodge 分解开始，对没有数学背景的读者跨度过大。本模块不假定线性代数、微积分或复分析基础，只假定会四则运算。 每课只回答一个问题，建议每天最多学习两课。不要只读；必须完成每页末尾的三道自测…

本课只解决一个问题 看到下面这行时，怎样知道每个符号在说什么？ E(u)=12∑(i,j)∈Ewij∥ui−uj∥2.E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2. E(u)=21​(i,…

本课只解决一个问题 为什么一张曲面可以写成 r(u,v)=(u,v,u2+v2)\mathbf r(u,v)=(u,v,u^2+v^2) r(u,v)=(u,v,u2+v2) 为什么这能表示一张曲面？ 答案依赖两个基础概念：函数负责建立对应…

本课只解决一个问题 怎样用数字描述“转了多少”，并从三条边算出三角形的角？ 共形映射的核心是局部保持角度。若角度和三角函数没有真正掌握，后面的“保角”只会变成一句口号。 1. 角度测量的是旋转量 一整圈可以分成 360∘360^\circ3…

本课只解决一个问题 怎样只用数字计算方向、长度、夹角、投影和三角形面积？ 这些量以后会分别变成切向量、度量、共形条件和网格面积。 1. 点和向量不是同一种对象 点表示位置，向量表示位移。若 p=(1,2),q=(4,6),p=(1,2),\…

本课只解决一个问题 矩阵 A=(2001)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} A=(20​01​) 为什么表示“横向拉伸两倍、纵向不变”？ 本课不先背矩阵乘法规则，而是从“基向量被送…

本课只解决一个问题 求解 Ax=bAx=b Ax=b 究竟是在找什么？为什么网格参数化必须固定边界或锚点后才能求解？ 1. 方程组是多个条件的交集 考虑 {x+y=3,x−y=1.\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. …

本课只解决一个问题 “局部保角”中的“局部”怎样变成可计算的数学条件？ 答案是导数：把一个弯曲、非线性的函数在很小邻域内近似成线性函数。 1. 平均变化率 函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 从 xxx 走到 x+hx+hx+h，输…

本课只解决一个问题 一个二维到二维的变形，在某一点附近究竟怎样拉伸和旋转？ 一元函数用一个导数描述局部变化；多元函数需要偏导、梯度和 Jacobian 矩阵。 1. 偏导：一次只改变一个输入 设 f(x,y)=x2+3xy+y2.f(x,y…

本课只解决一个问题 为什么能量写成积分，而离散算法又把积分变回三角形求和？ 积分的核心不是“找原函数”，而是把无数个微小贡献累加起来。 1. 先从有限求和开始 一条长度为 111 的区间分成 nnn 小段，每段宽度 Δx=1/n\Delta…

本课只解决一个问题 为什么二维共形几何总喜欢把点 (x,y)(x,y)(x,y) 写成 z=x+iyz=x+iyz=x+iy？ 因为复数乘法会自动完成“统一缩放加旋转”，这恰好是局部保角线性映射的结构。 1. 虚数单位不是想象游戏 定义一个…

本课只解决一个问题 为什么“求一个好参数化”经常被改写成“让某个能量最小”？ 能量把许多局部要求汇总成一个数，优化则从允许的候选中寻找这个数最小的那个。 1. 从一元二次函数开始 E(x)=12ax2−bx,a>0.E(x)=\fra…