本课只解决一个问题

为什么能量写成积分，而离散算法又把积分变回三角形求和？

积分的核心不是“找原函数”，而是把无数个微小贡献累加起来。

1. 先从有限求和开始

一条长度为 $1$ 的区间分成 $n$ 小段，每段宽度 $\Delta x=1/n$ 。若第 $i$ 段高度取 $f(x_i)$ ，矩形总面积为

S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x.

分得越细，阶梯图形越接近曲线下方区域。

定义

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\max\Delta x_i\to0} \sum_i f(x_i^*)\Delta x_i.

这里：

积分值可以为负，因为它累加的是带符号高度；几何面积需要按情形取绝对值。

若 $F'(x)=f(x)$ ，则

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

例如 $f(x)=x$ 的原函数可取 $F(x)=x^2/2$ ：

\int_0^1x\,dx=\frac12.

这既是代数结果，也是底为 $1$ 、高为 $1$ 的直角三角形面积。

对平面区域 $\Omega$ ：

\int_\Omega f(x,y)\,dA

表示把每个小面积块 $\Delta A$ 上的 $f$ 值相加。若 $f\equiv1$ ：

\int_\Omega1\,dA=\operatorname{Area}(\Omega).

这解释了为什么密度积分给质量：局部质量约为“密度乘小面积”。

若映射 $F(u,v)=(x,y)$ 把参数域小矩形变到目标区域，局部面积缩放约为

|\det J_F(u,v)|.

因此变量替换公式为

\int_{F(U)}g(x,y)\,dx\,dy =\int_U g(F(u,v))|\det J_F(u,v)|\,du\,dv.

行列式不是凭空出现的修正系数；它就是每个无限小面积块被放大了多少。

曲面参数化 $\mathbf r(u,v)\in\mathbb R^3$ 的两个切向量是 $\mathbf r_u,\mathbf r_v$ 。小参数矩形被近似为它们张成的平行四边形，所以

dA=\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv.

曲面面积为

\operatorname{Area}(S) =\int_U\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv.

Dirichlet 能量写成

E(u)=\frac12\int_\Omega\|\nabla u\|^2\,dA.

逐字翻译：每一点用 $\|\nabla u\|^2/2$ 衡量局部变化强度，再对整个区域累加。剧烈变化比平缓变化付出更高代价。

若把区域切成三角形 $T$ ，则

E(u)=\sum_T\frac12\int_T\|\nabla u\|^2\,dA.

有限元方法正是逐三角形计算这些局部积分，再组装成全局能量。

在单位正方形 $\Omega=[0,1]^2$ 上取 $u(x,y)=2x+3y$ 。梯度为

\nabla u=(2,3)^T,

所以 $\|\nabla u\|^2=13$ 到处相同：

E(u)=\frac12\int_\Omega13\,dA =\frac{13}{2}\operatorname{Area}(\Omega) =\frac{13}{2}.

题 1。 $\int_0^2 3\,dx$ 是多少？

答案。 高为 $3$ 、宽为 $2$ 的矩形面积，等于 $6$ 。

题 2。 映射 $F(u,v)=(2u,3v)$ 把面积放大多少倍？

答案。 $J_F=\operatorname{diag}(2,3)$ ， $|\det J_F|=6$ 。

题 3。 为什么能量密度用平方后不会因梯度方向相反而抵消？

答案。 $\|\nabla u\|^2\ge0$ ，方向取反长度平方不变，每处贡献均非负。