本页只解决一个问题

球面如何显式、保角地对应扩充复平面？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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12. 球面的立体投影

从北极把单位球面投到赤道平面。若平面复坐标为$z=x+iy$，逆立体投影为

$$X(z)=\frac1{1+|z|^2} \left(2x,2y,|z|^2-1\right).$$

计算第一基本形式得到

$$ds_{S^2}^2 =\frac{4}{(1+|z|^2)^2}|dz|^2.$$

所以立体投影共形，共形因子

$$\lambda(z)=\frac{2}{1+|z|^2}.$$

当$|z|\to\infty$ 时对应北极。平面需要加入无穷远点才得到完整球面。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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