Mathematics
笔记列表 154
先选入口 现在的目录只表达一种关系：页面在知识体系中的身份。主干课程、扩展课程、研究专题和旧版长讲义不再混排。 入口 包含什么 什么时候使用 课程地图 28 个模块、314 个课题单元、知识依赖与学习路线 先判断整门课的边界以…
自动关联目录：代数拓扑：从曲面分类到同调算法 本页是集中复习用的长篇参考，不是零基础入口。第一次学习请从 模块 1：曲面拓扑短课 开始；该模块已将本页拆成 11 个单概念页面。 本章目标 拓扑研究连续形变下不变的性质。共形几何还会研究角…
自动关联目录：微分拓扑与 Hodge 分解 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 2：微分形式与 Hodge 理论，按 9 个单概念短课阅读。 本章目标 向量分析把梯度、旋度和散度写成三个看似不同的算子；微分形式把它们统一…
自动关联目录：曲面微分几何与调和映射 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 3：曲面微分几何，按 9 个单概念短课阅读。 本章目标 本章对应 David Gu 课程中的曲面微分几何、Yamabe 方程、测地线与曲面调和映射…
自动关联目录：共形结构、一致化与复分析 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 4：共形结构与复分析，按 8 个单概念短课阅读。 本章目标 共形映射的“保角”定义很直观，但不足以支撑算法。本章将证明或解释以下等价刻画： 保持…
自动关联目录：离散曲面与共形算法 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 5：离散曲面与共形算法，按 10 个单概念短课阅读。 本章目标 连续理论给出度量、曲率、Laplacian 和共形结构；算法必须把它们转成有限维数据。…
自动关联目录：Python 实验：从 Tutte、调和映射到 LSCM 本页保留完整可运行程序，适合最后串联。第一次实验请进入 模块 6：Python 网格参数化实验，分 6 步完成。 实验目标 本实验不调用现成参数化函数，而是直接实现…
自动关联目录：黎曼面、Abel 微分与参数域 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 7：黎曼面与 Abel 微分，按 6 个单概念短课阅读。 本章目标 圆盘型曲面可直接映到平面区域，但闭合环面或高亏格曲面不可能用一个无周期…
自动关联目录：离散 Ricci 流与双曲结构 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 8：离散 Ricci 流与双曲结构，按 6 个单概念短课阅读。 本章目标 参数化可以通过求坐标实现，也可以通过改度量实现：在同一共形类内调…
自动关联目录：最优输运与几何深度学习 本页是集中复习用的长篇参考。第一次学习请进入 模块 9：最优输运与几何深度学习，按 8 个单概念短课阅读。 本章目标 共形映射主要控制角度，最优输运主要控制质量守恒。两者结合可以把曲面先标准化到公共…
这里和课程有什么不同 主干课程按“先学什么”组织，扩展课程按“还需要补什么”组织；研究专题按“一个真实研究问题需要哪些理论、算法、论文和实验”组织。 研究专题不会复制课程正文。每个专题都要完成四件事： 画清问题版图与历史谱系； 把理论对象…
使用说明 这里统一归档旧版长篇讲义。它们保留完整理论链和原有网址，适合完成对应主干模块后串联复习；第一次学习请进入主干课程。 编号 参考讲义 对应主干模块 R01 代数拓扑与同调 01 R02 微分形式与 Hodge 02…
专题定位 网格生成不是“把形状切成许多小块”这么简单。它要在四类互相冲突的要求之间找到平衡： 几何忠实：边界、尖角、薄层、小孔和曲率不能丢； 拓扑正确：单元必须正确邻接，不能有裂缝、重叠或非预期分支； 数值可用：单元形状、方向和尺寸要服务…
网格为何随数值计算而生 连续域 Ω\OmegaΩ 中的偏微分方程有无限多个自由度，计算机只能保存有限数据。网格做的是选择有限个节点、单元和基函数，把连续解 uuu 近似为 uh(x)=∑i=1Nuiϕi(x).u_h(x)=\sum_{i=…
一个网格有四层对象 初学者常把它们全部叫“网格”，于是定理条件很快混乱。 层 数学对象 关心的问题 组合层 顶点、边、面、体的邻接复形 KKK 是否是流形、Euler 数、同调、奇异边 几何层 嵌入 $X: K 度量层…
“质量”至少有五种 质量 典型量 失败时的后果 几何逼近 Hausdorff 距离、法向误差 边界条件施加在错误几何上 单元形状 最小角、长宽比、scaled Jacobian 插值误差和条件数恶化 拓扑结构 奇异点/…
为什么先学单纯形网格 三角形和四面体具有最简单的仿射坐标，任意多边形/多面体也较容易被它们细分。自动三角网格与四面体网格已经相对成熟，但“相对成熟”不等于所有 CAD、各向异性和高阶情形都解决。 Delaunay 的局部判据 平面点集的三角…
四边形网格不只是把两个三角形合并 四边形的价值来自两族相交坐标线。规则区域近似张量积网格，可直接支持样条、纹理、边界层和方向性 PDE。把三角形两两合并只能得到 quad-dominant 连接，通常没有好的全局流线结构。 局部奇异点与指数…
六面体为什么难 四面体可以通过局部插点自然细化；纯六面体的连接关系更“刚”。在规则体网格中插入一个孤立点，无法只靠很小邻域内的简单操作保持所有单元都是六面体。局部决定会沿 sheet/chord 传播到很远，几何与拓扑强耦合。 六面体网格的…
共形几何到底提供什么 共形几何不直接替你“画格子”。它先把网格的方向、奇异点和布局转译成黎曼面上的内在对象，使存在性、自由度和全局障碍能够被定理描述。 flowchart LR A[quad / hex 目标] --> B[平坦锥度…
先分清两条研究链 从公开资料看，大连理工的网格生成不能简化成一个团队或一个算法。 研究链 代表性公开方向 数学/算法关键词 输出形态 几何计算与结构化网格 罗钟铉、雷娜、郑晓朋等及与顾险峰团队合作 共形几何、黎曼面、叶状结构、…
为什么直边、各向同性网格不够 三类场景会迅速暴露基础网格的局限： 高阶 FEM/DG：解空间是高次多项式，直边几何误差可能成为主误差； 边界层/激波：不同方向尺度相差几个数量级； 高曲率 CAD：粗直边近似会错过真实边界与法向。 高阶曲…
如何判断“前沿” 本页不把“用了神经网络”自动视为前沿。一个方向是否重要，要问：它消除了哪个真实瓶颈，是否保持几何/拓扑硬约束，是否在未见模型上泛化，是否让最终求解更准或更快。 前沿一：AI 辅助 CAD-to-mesh，而非取代几何内核 …
目标不是“看完论文”，而是建立证据链 每个研究主题都应留下四个产物： 一页概念与定理假设； 一个能手算的小例子； 一个可运行实现与自动检查； 一张失败案例表。 只有论文摘要和截图，无法支撑研究判断。 12 个月路线 第 1–2 月：最小…
先回答：此前的文献搜集充分吗？ **不充分。**此前 11 篇正文是研究方向导论，只引用了约 35 个外部入口，其中约 30 个是 DOI。它能说明问题版图，却远不能承担文献综述：数学底座、质量度量、高阶网格等章节甚至没有形成连续的引用链；…
这条谱系研究什么 单纯形网格不是一个算法，而是五个彼此耦合的问题： 几何谓词→点集剖分→约束边界恢复→尺寸/质量控制→工程鲁棒性.\text{几何谓词} \to \text{点集剖分} \to \text{约束边界恢复} \to \text…
三个概念先分开 重网格 remeshing：已有离散几何上改变采样与连接，目标可能只是几何逼近和元素规则性； 各向异性网格 anisotropic mesh：单元在一个度量场中近似等边，在欧氏空间中可以很细长； 自适应 mesh adap…
先用六层管线整理文献 四边形网格研究最容易被算法名淹没。把论文放回管线，就能看出它究竟解决哪一层： flowchart LR A[几何/特征] --> B[方向场] B --> C[奇异点与拓扑] C --> D[可…
为什么这条线三十多年仍然难 一个六面体不是六个四边形面拼起来就够了。全局上，奇异边构成嵌入体内的图；局部上，体参数映射必须保持正 Jacobian；边界上，六面体面要与 CAD 特征和边界 quad 相容；数值上，还要控制 scaled J…
高阶网格不是“在线性边上多放几个点” 对参考单元 K^\hat KK^，高阶几何映射写成 x(ξ)=∑i=1npNi(p)(ξ)xi.x(\xi)=\sum_{i=1}^{n_p}N_i^{(p)}(\xi)x_i. x(ξ)=i=1∑np…
这条谱系为何不是“共形参数化论文列表” 计算共形几何对网格生成的作用至少分四层： 度量层：在共形类内改变尺度，使处方曲率可实现； 坐标层：构造调和/共形坐标和自然参数； 拓扑层：用同调、周期、holonomy 与除子表达全局障碍； 结构层…
先拆掉一个误区 “神经网络处理了 mesh”不等于“神经网络在生成分析网格”。至少要区分： 任务 典型输出 是否直接得到 CAE 网格 网格表示学习 分类/分割/特征向量 否 物理代理模型 下一时刻状态或场量 否，通常假设…
模块目录 微分拓扑进阶 计算拓扑与持续同调 移动标架与结构方程 几何偏微分方程与变分法 这一组连接局部微分结构、全局拓扑不变量和几何方程。 …
模块目录 几何复分析：模、容量与极值长度 圆域映射与 Koebe 迭代 Teichmüller 空间与映射类群 代数曲线、函数域与层上同调 这一组是从经典一致化进入高亏格曲面、模空间和代数几何的研究路线。 …
模块目录 Voronoi、Delaunay 与凸包 三角形、四边形与六面体网格生成 这一组把共形参数化接到尺寸场、方向场、全局参数化和高质量网格生成。 …
模块目录 三维获取、标定、融合与曲面重建 最优输运进阶 计算共形几何应用全景 这一组负责真实数据如何进入几何算法，以及结果如何进入视觉、医学、生成模型和几何学习。 …
模块定位 核心问题：怎样从带噪点云和网格稳定地恢复洞、把手、隧道与切割图？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 模块 …
模块定位 核心问题：局部向量场奇点怎样编码全局拓扑，曲面浸入又有哪些不可见约束？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 …
模块定位 核心问题：调和映射、Yamabe 方程、热流与 Monge-Ampère 方程共享怎样的变分结构？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能…
模块定位 核心问题：不用沉重坐标展开，怎样用标架和微分形式推导曲率与 Gauss-Codazzi 方程？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给…
模块定位 核心问题：怎样用曲线族而不是坐标公式定义共形不变量？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 F04 复分析 模…
模块定位 核心问题：同一拓扑曲面上所有共形结构怎样组成一个有限维空间？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 模块 07…
模块定位 核心问题：多连通平面域为何能标准化成圆域，数值迭代为什么收敛？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 C05 …
模块定位 核心问题：黎曼面怎样同时成为复分析对象和代数曲线，Riemann-Roch 又为何是维数公式？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给…
模块定位 核心问题：质量不等、底空间不同或分布位于曲面上时，经典 Wasserstein 理论怎样扩展？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给…
模块定位 核心问题：从相机像素到可做共形计算的流形网格，中间完整数据管线是什么？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 …
模块定位 核心问题：理论中的共形结构、曲率和周期坐标怎样进入真实科学与工程任务？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 …
模块定位 核心问题：共形参数、二次微分和奇异结构怎样真正指导高质量网格生成？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 本模块回答“需要…
模块定位 核心问题：为什么凸包、幂图与 Delaunay 三角剖分贯穿 Ricci 流、最优输运和网格生成？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能…
为什么单独放在这里 扩展课程用于补齐完整理论边界，但不强迫零基础读者一次学完。它与 84 篇主干短课分开，避免“已经写成正文”和“已经完成详细提纲”在目录中混成同一种页面。 领域 模块数 内容 入口 数学前置 5 证明、线性代…
本页只解决一个问题 怎样在黎曼面上记录函数的零点和极点，并把它们变成代数数据？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 为什么 f(z)dzf(z)dzf(z)dz 比普通函数更适合跨坐标积分，其零点总数受什么控制？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论…
本页只解决一个问题 沿基本闭路积分得到什么，周期矩阵为何满足对称与正定约束？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 除子何时来自亚纯函数，可解空间维数怎样由拓扑估计？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 极点和周期怎样分类微分，轨线结构怎样生成参数方向？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 怎样从同调基、调和代表和 Hodge 星计算离散周期坐标？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 08-01 连续 Ricci 流与 Yamabe 方程 二维曲率在共形缩放下怎样变…
本页只解决一个问题 二维曲率在共形缩放下怎样变化，流如何把曲率推向目标？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 为什么曲率导数像 Laplacian，Newton 法在最小化什么？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 怎样保持三角形合法并跨越三角剖分变化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：离散…
本页只解决一个问题 Euler 示性数怎样决定标准几何，双曲圆盘如何测距？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 离散曲率流代码应监控哪些不变量，它与调和参数化有何本质差别？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 circle packing 和 vertex scaling 怎样把曲率处方变成顶点变量演化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论…
本页只解决一个问题 从搬运映射到联合分布，松弛为什么让问题变成凸优化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 输运矩阵的行列约束是什么，势函数怎样给出对偶问题？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 概率分布之间的几何距离怎样区别于逐点差异？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 二次代价下最优映射为何是凸函数梯度，质量守恒怎样成为非线性 PDE？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 连续质量到离散点的输运怎样转化为加权 Voronoi 单元体积匹配？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 熵项怎样换来快速矩阵缩放，又引入哪些偏差和稳定性问题？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 测地代价、参数域计算和面积密度修正怎样配合？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块…
本页只解决一个问题 谱卷积、内在消息传递和输运损失分别使用了哪些几何结构？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 8 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 09-01 Monge 问题与 Kantorovich 松弛 从搬运映射到联合分布…
模块目录 数学逻辑、集合与证明方法 线性代数、谱理论与张量 实分析、多元微积分与 PDE 复分析完整基础 数值线性代数与优化 这些内容是可按需回退的基础层，不要求开始主干课程前一次学完。 …
模块定位 核心问题：极限、导数、积分、弱导数和偏微分方程怎样形成同一分析框架？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 F…
模块定位 核心问题：从向量空间到特征函数，几何算法中的矩阵究竟表达什么？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 F01 …
模块定位 核心问题：全纯性为何如此刚性，并怎样导出共形映射与黎曼面理论？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 F03 …
模块定位 核心问题：理论方程变成浮点程序后，稳定性、误差和收敛性怎样保证？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 F02…
模块定位 核心问题：怎样读写一个严格命题，并知道自己究竟证明了什么？ 本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。 前置知识 四则运算 模…
本页只解决一个问题 保角怎样分别写成矩阵、Jacobian 和度量拉回条件？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 复可微为何强迫局部映射成为旋转加统一缩放？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 怎样把非共形部分单独量化，Beltrami 系数表示什么椭圆畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：…
本页只解决一个问题 全纯性为何刚性很强，Möbius 映射怎样作用于圆和直线？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 局部共形坐标如何拼成全局结构，标准域由什么决定？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属…
本页只解决一个问题 球面如何显式、保角地对应扩充复平面？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：共形结…
本页只解决一个问题 双曲距离和欧氏距离为何不同，圆盘边界为何无限远？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属…
本页只解决一个问题 调和映射何时共形，算法中怎样测 Beltrami 与奇异值畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 组合网格和离散度量怎样分开，三条边怎样恢复一个三角形？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 分片平坦曲面的曲率为何集中在顶点，角亏怎样满足拓扑恒等式？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 分片线性函数的梯度怎样推导出 cotangent 权重？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 …
本页只解决一个问题 连续积分怎样组装成稀疏矩阵，边界条件怎样进入线性系统？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 正权凸组合为什么能给无翻转嵌入，假设缺一不可在哪里？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 怎样在每个面上测角度、面积和 Cauchy-Riemann 残差？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：…
本页只解决一个问题 最小二乘共形映射怎样形成矩阵，为什么低能量仍可能翻转？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 离散共形等价怎样直接改变边长，曲率如何响应共形因子？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页…
本页只解决一个问题 如何分别验证残差、翻转、角度畸变和面积畸变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块…
本页只解决一个问题 面对不同拓扑、边界与质量目标时，怎样选择算法？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 06-01 实验准备、网格构造与拓扑预检 怎样构造可靠输入，并在求解前拒绝错误拓扑…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 10 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 05-01 三角网格与边长度量 组合网格和离散度量怎样分开，三条边怎样恢复一个三…
本页只解决一个问题 怎样设置圆周边界、组装 Laplacian 并求内部 UV？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 怎样从单三角形 Cauchy-Riemann 残差组装全局 LSCM？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入…
本页只解决一个问题 怎样逐面计算奇异值、翻转和 Beltrami 畸变并正确可视化？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 怎样区分求解残差、几何质量和程序正确性？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：P…
本页只解决一个问题 教学代码迁移到真实网格时，哪些数值和数据问题必须处理？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 怎样构造可靠输入，并在求解前拒绝错误拓扑？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 6 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 07-01 全纯对象、零极点与除子 怎样在黎曼面上记录函数的零点和极点，并把它们变…
本页只解决一个问题 怎样把曲面上的瞬时运动定义为与坐标无关的向量？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 为什么测量向量的对象与向量本身不同？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：微分形…
本页只解决一个问题 有向长度、面积和体积如何用同一种代数表达？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：…
本页只解决一个问题 几何量怎样跨映射运输，grad、curl、div 又怎样被统一？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先…
本页只解决一个问题 局部微分信息怎样控制边界积分，洞又怎样阻止势函数存在？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 度量如何把微分形式变成可计算的内积与 Laplacian？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面…
本页只解决一个问题 一个向量场为什么能拆成梯度、旋转和调和三部分？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 连续微分形式怎样变成网格上的稀疏矩阵？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：微分…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 9 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 03-01 曲面片与坐标变换 参数化何时真正描述一块光滑曲面，换坐标时哪些量会改变…
本页只解决一个问题 曲面在外部空间怎样弯曲，主曲率、高斯曲率和平均曲率如何联系？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页…
本页只解决一个问题 为什么高斯曲率虽看似外在，却能由内在度量决定？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 局部曲率总量为什么等于全局拓扑数？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲面微分…
本页只解决一个问题 平面 Laplacian 如何推广到曲面，能量极小为何给出调和方程？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口…
本页只解决一个问题 二维中能量、面积、共形映射和曲率方程为何相遇？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
本页只解决一个问题 连续曲面公式怎样落到三角网格和数值代码？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲…
本页只解决一个问题 曲面怎样只靠内部数据测长度、角度和面积？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模块：曲…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 8 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 04-01 保角的线性、微分与度量条件 保角怎样分别写成矩阵、Jacobian 和…
本页只解决一个问题 非平凡拓扑怎样在调和 1-形式和矩阵零空间中出现？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所…
本页只解决一个问题 参数化何时真正描述一块光滑曲面，换坐标时哪些量会改变？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本…
本页只解决一个问题 不同点的切向量怎样比较，最短路径方程从哪里来？ 本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。 开始前 模块前置入口：先修页面 本页所属模…
这部分是什么 这里是第一次学习计算共形几何的正式路线，共 10 个模块、84 篇已有正文的短课。编号 00–09 只在这一层使用，表示推荐学习顺序。 顺序 模块 短课数 学完应达到的能力 00 数学语言 11 读懂函数、向量、…
这张图解决什么问题 计算共形几何不是“复分析 + 网格参数化”两门课的拼接。完整体系横跨： 数学逻辑、线性代数、实分析、复分析和数值优化； 代数拓扑、微分拓扑、黎曼几何和几何偏微分方程； 黎曼面、Teichmüller 理论、代数曲线和双…
为什么需要覆盖矩阵 “大而全”不能靠增加几个熟悉名词来判断。本页以 David Gu 2022 年公开课的 35 次讲座为主轴，并补充 2020 年课程出现的扩展主题，逐项映射到本 Wiki。 状态含义： 短课：已有可独立阅读页面； 详细…
模块问题 在谈长度、角度和曲率之前，先回答：输入究竟是哪一种曲面？有几块、几条边界、几个洞？能否直接映到圆盘？ 本模块把原先一篇 600 多行的拓扑章拆成 11 课。每课只增加一个概念层级。 前置检查 至少先完成： 函数与坐标； 线性方程…
本课只解决一个问题 如果不允许测量长度和角度，怎样仍然精确描述“哪些点彼此邻近”？ 拓扑的答案是：指定哪些集合算开集。开始前只需要 函数与坐标 中集合和原像的概念。 1. 集合语言 若集合 AAA 的每个元素也属于 XXX，记作 A⊆X.A…
本课只解决一个问题 咖啡杯和圆环为什么常被说成“拓扑相同”，而圆盘和圆环不同？ 必须把“可以连续变形”改写成不会误判的定义。 1. 双射还不够 两个无限点集之间常能建立奇怪的一一对应，但这种对应可能把相邻点送得很远。拓扑等价需要同时满足： …
本课只解决一个问题 球面明明弯曲，为什么还可以用两个坐标做微积分？ 关键不是整个球面像平面，而是每个足够小的邻域像平面。 1. 局部欧氏 二维拓扑流形 MMM 的核心条件是：每个点 p∈Mp\in Mp∈M 都有一个邻域 UUU，与平面中的…
本课只解决一个问题 数学上怎样精确表达“把两条边粘起来”？ 答案是先声明哪些点视为同一点，再把等价的点合并。这个过程叫取商。 1. 等价关系 集合 XXX 上的关系 ∼\sim∼ 若满足： 自反：x∼xx\sim xx∼x； 对称：x∼y…
本课只解决一个问题 一条闭路能否在曲面内连续缩成一点？如何把所有闭路的缠绕方式组织成代数对象？ 1. 路径 空间 XXX 中从 ppp 到 qqq 的路径是连续映射 γ:[0,1]→X,γ(0)=p, γ(1)=q.\gamma:[0,1]…
本课只解决一个问题 怎样区分曲面的内部点、边界点和一致的“正面方向”？ 这决定边界环提取、法向、积分符号和三角形翻转判断。 1. 带边界流形的局部模型 内部点的邻域像平面开圆盘。边界点的邻域像上半平面 H2={(x,y)∈R2:y≥0}\m…
本课只解决一个问题 如何把圆上反复绕圈的运动，变成实数轴上的普通直线运动？ 覆盖空间让复杂空间在局部保持原样，同时把全局绕圈信息展开。 1. 最重要的例子 定义 p:R→S1,p(t)=e2πit.p:\mathbb R\to S^1, \…
本课只解决一个问题 只数网格中的顶点、边和面，为什么就能得到一个不随重新剖分改变的拓扑数？ 1. 单纯形 低维单纯形是： 000-单纯形：顶点； 111-单纯形：边； 222-单纯形：三角形； 333-单纯形：四面体。 三角网格是许多 …
本课只解决一个问题 怎样把“顶点、边、面怎样连接”写成矩阵，并让“边界的边界为零”成为可以验证的代数恒等式？ 1. 为什么需要形式线性组合 只列出单条边无法表达一圈边界。我们允许把有向单纯形按系数相加。 kkk-链写作 c=∑iaiσi,c…
本课只解决一个问题 “闭合”为什么还不等于“围成一块面”？同调怎样把两者的差解释为洞？ 本课必须先掌握 边界算子。 1. 循环 kkk-链 z∈Ckz\in C_kz∈Ck 若没有边界： ∂kz=0,\partial_k z=0, ∂k…
本课只解决一个问题 给定三角形面数组 faces，怎样检查边界、非流形边、连通性和 Euler 示性数？ 代码只实现已经学过的定义。若某一行看不懂，应回到对应理论短课，而不是背代码。 1. 输入约定 import numpy as np f…
学习方式 本模块已把长篇参考讲义拆成 9 个单概念页面。按顺序阅读；每页完成“读完必须能回答”后再继续。 课程目录 课次 页面 本课唯一主问题 02-01 切空间 怎样把曲面上的瞬时运动定义为与坐标无关的向量？ 02-02…
这个模块为何必须先学 旧版课程从流形、基本群和 Hodge 分解开始，对没有数学背景的读者跨度过大。本模块不假定线性代数、微积分或复分析基础，只假定会四则运算。 每课只回答一个问题，建议每天最多学习两课。不要只读；必须完成每页末尾的三道自测…
本课只解决一个问题 看到下面这行时，怎样知道每个符号在说什么？ E(u)=12∑(i,j)∈Ewij∥ui−uj∥2.E(u)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}\|u_i-u_j\|^2. E(u)=21(i,…
本课只解决一个问题 为什么一张曲面可以写成 r(u,v)=(u,v,u2+v2)\mathbf r(u,v)=(u,v,u^2+v^2) r(u,v)=(u,v,u2+v2) 为什么这能表示一张曲面？ 答案依赖两个基础概念：函数负责建立对应…
本课只解决一个问题 怎样用数字描述“转了多少”，并从三条边算出三角形的角？ 共形映射的核心是局部保持角度。若角度和三角函数没有真正掌握，后面的“保角”只会变成一句口号。 1. 角度测量的是旋转量 一整圈可以分成 360∘360^\circ3…
本课只解决一个问题 怎样只用数字计算方向、长度、夹角、投影和三角形面积？ 这些量以后会分别变成切向量、度量、共形条件和网格面积。 1. 点和向量不是同一种对象 点表示位置，向量表示位移。若 p=(1,2),q=(4,6),p=(1,2),\…
本课只解决一个问题 矩阵 A=(2001)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} A=(2001) 为什么表示“横向拉伸两倍、纵向不变”？ 本课不先背矩阵乘法规则，而是从“基向量被送…
本课只解决一个问题 求解 Ax=bAx=b Ax=b 究竟是在找什么？为什么网格参数化必须固定边界或锚点后才能求解？ 1. 方程组是多个条件的交集 考虑 {x+y=3,x−y=1.\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. …
本课只解决一个问题 “局部保角”中的“局部”怎样变成可计算的数学条件？ 答案是导数：把一个弯曲、非线性的函数在很小邻域内近似成线性函数。 1. 平均变化率 函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 从 xxx 走到 x+hx+hx+h，输…
本课只解决一个问题 一个二维到二维的变形，在某一点附近究竟怎样拉伸和旋转？ 一元函数用一个导数描述局部变化；多元函数需要偏导、梯度和 Jacobian 矩阵。 1. 偏导：一次只改变一个输入 设 f(x,y)=x2+3xy+y2.f(x,y…
本课只解决一个问题 为什么能量写成积分，而离散算法又把积分变回三角形求和？ 积分的核心不是“找原函数”，而是把无数个微小贡献累加起来。 1. 先从有限求和开始 一条长度为 111 的区间分成 nnn 小段，每段宽度 Δx=1/n\Delta…
本课只解决一个问题 为什么二维共形几何总喜欢把点 (x,y)(x,y)(x,y) 写成 z=x+iyz=x+iyz=x+iy？ 因为复数乘法会自动完成“统一缩放加旋转”，这恰好是局部保角线性映射的结构。 1. 虚数单位不是想象游戏 定义一个…
本课只解决一个问题 为什么“求一个好参数化”经常被改写成“让某个能量最小”？ 能量把许多局部要求汇总成一个数，优化则从允许的候选中寻找这个数最小的那个。 1. 从一元二次函数开始 E(x)=12ax2−bx,a>0.E(x)=\fra…
自动关联目录：Mathematics 数学学习地图 这页是数学类笔记的入口。当前优先建设的是计算共形几何：它把线性代数、多元微积分、微分几何、拓扑和数值计算连接起来，也直接服务于网格生成、曲面参数化和几何深度学习。专题的完整边界现已扩展为 …