目标不是“看完论文”，而是建立证据链

每个研究主题都应留下四个产物：

一页概念与定理假设；
一个能手算的小例子；
一个可运行实现与自动检查；
一张失败案例表。

只有论文摘要和截图，无法支撑研究判断。

12 个月路线

第 1–2 月：最小数学与数据结构

学完线性代数、微积分、三角网格邻接、Euler 与定向；
手写 half-edge 或使用成熟库读取网格；
实现面积、法向、边界环、Euler 数、最小角与翻转检查；
对故意制造的非流形边、重复面、反向面建立测试。

出口：面对一个网格，能判断算法失败是输入拓扑、几何退化还是数值容差。

第 3–4 月：传统 tri/tet

实现二维 Bowyer–Watson；
加入 orient2d/incircle 鲁棒谓词；
实现约束边恢复或调用 Triangle 对照；
复现 Ruppert refinement 的最小角—单元数曲线；
实现 Lloyd/CVT，并记录能量单调性与边界问题。

出口：能解释“论文级伪代码”与“工程可用程序”之间缺了什么。

第 5–6 月：参数化与 quad

实现 cotan Laplacian 与 harmonic map；
实现 LSCM 或复用公开实现；
计算每三角形 Jacobian 奇异值、翻转与 Beltrami 系数；
在给定交叉场上计算奇异指数；
复现一个 PGP/MIQ/QuadWild 类基线。

出口：能区分方向场、参数化、layout 与最终 quad mesh。

第 7–9 月：计算共形理论

计算同调基与调和 1-形式；
数值验证周期；
学习离散 Ricci 流并做曲率处方；
对亏格 0/1 的简单例子构造二次或四次微分；
用价数公式和 Abel–Jacobi 条件检查候选奇异配置。

出口：能逐步讲清大连理工 QMG I–III 的每个数学对象为何出现。

第 10–12 月：选一个窄问题

推荐从可验证的小切口开始：

奇异点位置对 PDE 误差的影响；
Abel–Jacobi 优化的数值条件与加速；
各向异性度量与四次微分的兼容；
quad layout 失败的自动分类器，但由硬约束验证；
高阶曲边单元的 Jacobian 证书；
hex sheet 操作的可行 action mask；
多孔平面域 Weierstrass 方法的适用边界。

论文阅读模板

项目	必须写出的内容
输入	流形/边界/亏格/CAD 容差/初始网格要求
输出	场、参数化、layout、细网格还是体网格
定理	精确假设、必要/充分、连续/离散
变量	连续变量、整数变量、拓扑变量
目标	几何能量、误差、质量还是运行时间
保证	终止、存在、唯一、无翻转、质量界
未保证	论文明确限制与隐含失败模式
实验	数据集、基线、参数、统计、失败样例
复现	代码、版本、种子、许可证、硬件

实验仓库建议结构

mesh-research/
├─ data/
│  ├─ raw/              # 原始模型，只读
│  ├─ repaired/         # 修复模型与修复日志
│  └─ licenses.md
├─ src/
├─ configs/             # 每次实验的参数
├─ tests/               # 几何谓词、不变量、回归模型
├─ runs/
│  └─ 2026-10-11_caseA/
│     ├─ config.yaml
│     ├─ metrics.json
│     ├─ stdout.log
│     └─ mesh.vtu
├─ notebooks/           # 只做分析，不承载核心算法
└─ environment.lock

每次运行必须保存的指标

input:
  model: bracket_017.step
  sha256: "..."
  length_unit: mm
method:
  name: baseline_miq
  commit: "..."
  seed: 17
output:
  vertices: 0
  elements: 0
  invalid_elements: 0
  min_scaled_jacobian: 0.0
  p01_scaled_jacobian: 0.0
  hausdorff_relative: 0.0
  singularities: 0
runtime:
  preprocess_s: 0.0
  generate_s: 0.0
  optimize_s: 0.0
solver:
  dofs: 0
  iterations: 0
  relative_error: 0.0

第一个可执行研究项目

题目：交叉场可行不代表四边网格可行的数值示例库。

收集球面、环面、多孔平面域与带边界曲面；
人工构造满足 Poincaré–Hopf 的奇异指数配置；
计算周期/Abel–Jacobi 残差；
尝试全局参数化并记录失败类型；
比较只做场平滑与加入全局约束的差异；
输出最小反例及自动检查脚本。

这个项目足够小，能同时训练拓扑、Hodge、黎曼面、优化和实验设计，也直接连接大连理工 2023 年论文。

选题前的停止条件

出现以下任一情况，先不要宣称新方法有效：

只在作者展示模型上成功；
没有失败率和最坏质量；
与基线自由度/尺寸预算不同；
用神经网络但无训练外拓扑测试；
只看几何质量，未跑目标 PDE；
输出存在翻转却用平均指标掩盖；
论文定理依赖闭曲面，而实验题目是带 CAD 边界装配体。

下一步入口

先完成质量、误差与有效性中的检查器，再进入三角形与四面体传统算法。研究计算共形路线时，把计算共形几何主线与大连理工研究脉络并排阅读。

每进入一个实验阶段，先到文献地图选择对应谱系，并按“主干—分支—工具”的顺序建自己的阅读卡片。

网格生成 11：复现、阅读与选题路线