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离散曲率流代码应监控哪些不变量，它与调和参数化有何本质差别？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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本页所属模块：离散 Ricci 流与双曲结构
集中复习版：原长篇参考讲义

12. 离散曲率流伪代码

input: triangulation T, initial lengths l0, target curvature K_bar
u <- 0
fix scale gauge, e.g. sum(u) = 0

repeat:
    l <- conformal_lengths(l0, u)
    while T is not intrinsic Delaunay:
        flip offending edge
        update intrinsic length with Ptolemy relation

    theta <- triangle_angles(l)
    K <- angle_defects(theta)
    residual <- K - K_bar
    if max_abs(residual) < tolerance: break

    H <- curvature_jacobian(theta)  # Laplace-type Hessian
    du <- solve_gauged_system(H, -residual)
    step <- backtracking_line_search(u, du)
    u <- u + step * du

output: conformal factor u, final intrinsic metric l, triangulation T

13. 数值不变量与诊断

每次迭代至少记录：

量	应满足
目标曲率总和	$\sum\bar K=2\pi\chi$ （含边界版本）
当前曲率总和	数值上保持 Gauss–Bonnet
最小三角不等式余量	严格为正
非 Delaunay 边数	翻边后为 0
$\|K-\bar K\|_\infty$	下降至容差
$\sum u_i$ 或固定点	满足尺度规范
Hessian 最小非零特征值	不应异常接近 0

14. Ricci flow 与调和参数化的区别

调和/LSCM	Ricci/Yamabe flow
直接求点的二维坐标	先求目标内在度量
通常是线性或二次优化	非线性曲率处方
边界/锚点强烈影响结果	目标曲率与拓扑主导
适合圆盘参数化	可统一球面、环面、高亏格
输出坐标	输出度量，之后还需 development

15. 常见错误

目标曲率不满足 Gauss–Bonnet，问题根本无解。
忘记固定尺度，Hessian 奇异。
固定原三角剖分不翻边，迭代撞上三角不等式边界。
把角度亏损当作曲率密度；二者相差 dual area。
Newton 不做 line search，远离解时发散。
得到目标度量后直接把原三维坐标当作参数坐标；仍需发展映射。
球面/双曲参数未做自同构归一化，比较结果会漂移。

读完必须能回答

不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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