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沿基本闭路积分得到什么，周期矩阵为何满足对称与正定约束？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

选取 $2g$ 条闭曲线

a_1,b_1,\ldots,a_g,b_g

构成 $H_1(M;\mathbb Z)$ 的辛基，使交数满足

a_i\cdot a_j=0, \qquad b_i\cdot b_j=0, \qquad a_i\cdot b_j=\delta_{ij}.

交数是带符号的横截相交点数量。这个基不是唯一的，不同基之间由整数辛群 $Sp(2g,\mathbb Z)$ 作用联系。

沿全部 $a_i,b_i$ 切开，曲面变成一个有 $4g$ 条边的基本多边形。

取全纯 1-形式基 $\omega_1,\ldots,\omega_g$ 。定义 $a$ 周期和 $b$ 周期：

A_{ij}=\oint_{a_j}\omega_i, \qquad B_{ij}=\oint_{b_j}\omega_i.

可线性组合使 $a$ 周期归一化为

\oint_{a_j}\omega_i=\delta_{ij}.

此时 $b$ 周期组成 Riemann period matrix

\tau_{ij}=\oint_{b_j}\omega_i.

Riemann 双线性关系推出：

\tau^T=\tau, \qquad \operatorname{Im}\tau>0.

所以 $\tau$ 位于 Siegel 上半空间。

对闭 1-形式 $\alpha,\beta$ ：

\int_M\alpha\wedge\beta =\sum_{i=1}^g \left( \oint_{a_i}\alpha\oint_{b_i}\beta -\oint_{b_i}\alpha\oint_{a_i}\beta \right).

证明思想：沿 canonical basis 切开 $M$ 得基本多边形；在单连通多边形上写 $\alpha=df$ ；应用 Stokes 定理把面积积分化成边界积分，再利用成对边上的函数跳跃等于周期。

这一定理把曲面上的积分内积完全转化为有限个周期。