本页只解决一个问题

有向长度、面积和体积如何用同一种代数表达？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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3. 外代数与微分形式

3.1 楔积

两个 1-形式的楔积满足反对称性

$$\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha.$$

所以

$$du\wedge du=0, \qquad dv\wedge du=-du\wedge dv.$$

若

$$\alpha=a_1du+a_2dv, \qquad \beta=b_1du+b_2dv,$$

则

$$\alpha\wedge\beta =(a_1b_2-a_2b_1)du\wedge dv.$$

系数正是$2\times2$ 行列式，所以楔积测量有向面积。

3.2$k$-形式

$k$-形式是作用在$k$ 个切向量上的交替多线性函数。二维曲面上只有：

• 0-形式：函数；
• 1-形式：沿方向积分的量；
• 2-形式：面积密度；
• $k>2$ 的形式恒为 0。

体积形式在局部写成

$$dA_g=\sqrt{\det g}\,du\wedge dv.$$

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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