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局部共形坐标如何拼成全局结构，标准域由什么决定？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

若 $\Omega\subsetneq\mathbb C$ 是非空单连通开集，则存在双全纯映射

f:\Omega\to\mathbb D.

若指定一点 $z_0\in\Omega$ 满足

f(z_0)=0, \qquad f'(z_0)>0,

则映射唯一。

多连通平面域需要圆域定理（Koebe uniformization）：适当条件下可共形映到边界分支为圆的圆域。

二维黎曼曲面局部存在坐标 $(x,y)$ ，使

g=e^{2u(x,y)}(dx^2+dy^2).

这相当于说任意二维度量局部都只差一个标量共形因子。证明可通过解 Beltrami 方程或调和坐标完成。

一般二维度量

g=E,dx^2+2F,dxdy+G,dy^2

可以唯一写成

g=\rho(z)|dz+\mu(z)d\bar z|^2, \qquad \rho>0,\quad|\mu|<1.

求解坐标变换的 Beltrami 方程，就能把 $\mu$ 消去，得到等温坐标。

若 $g=e^{2u}|dz|^2$ ：

\Delta_g=e^{-2u}\Delta_0,

K=-e^{-2u}\Delta_0u.

Dirichlet 能量在二维共形变换下不变：若 $\tilde g=e^{2u}g$ ，则

|df|_{\tilde g}^2dA_{\tilde g} =e^{-2u}|df|_g^2e^{2u}dA_g =|df|_g^2dA_g.

这是二维调和映射与共形几何特别契合的根本原因。

一个定向二维流形的图册 $\{(U_\alpha,z_\alpha)\}$ 若所有过渡函数

z_\beta\circ z_\alpha^{-1}

都是全纯函数，则称为共形图册。互相兼容的最大共形图册定义共形结构；带共形结构的曲面就是黎曼面。

二维中存在三类等价结构：

\boxed{ \text{共形结构} \Longleftrightarrow \text{复结构} \Longleftrightarrow \text{黎曼度量的共形等价类} }

这里“度量共形等价类”指

[g]=\{e^{2u}g:u\in C^\infty(M)\}.

每个单连通黎曼面共形等价于以下三者之一：

等价地，任意黎曼曲面的通用覆盖具有常高斯曲率度量：

类型	标准空间	曲率	紧致可定向曲面
球面型	$S^2$	$+1$	$g=0$
欧氏型	$\mathbb C$	$0$	$g=1$
双曲型	$\mathbb D$	$-1$	$g\ge2$

为何由亏格决定，可由 Gauss–Bonnet 看出：常曲率 $K$ 满足

K\operatorname{Area}(M)=2\pi\chi(M)=4\pi(1-g).

因此 $g=0,1,\ge2$ 分别对应正、零、负曲率符号。

一致化映射通常不是唯一的：球面有 Möbius 自同构，圆盘也有三实维自同构群。数值计算必须固定足够多的锚点或归一化条件。