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谱卷积、内在消息传递和输运损失分别使用了哪些几何结构？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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本页所属模块：最优输运与几何深度学习
集中复习版：原长篇参考讲义

13. 几何深度学习中的三类结构

13.1 图 Laplacian 与谱卷积

离散 Laplace–Beltrami 广义特征问题：

L\phi_k=\lambda_kM\phi_k.

特征函数是曲面上的 Fourier 基。谱滤波：

y=g(\Delta)x \approx\sum_{k=0}^{K-1}g(\lambda_k) \langle x,\phi_k\rangle_M\phi_k.

问题：不同曲面的特征基可能有符号、旋转和重特征空间不唯一，不能直接逐列对齐。

13.2 内在消息传递

图神经网络

h_i^{(l+1)} =\Phi\left(h_i^{(l)}, \operatorname{Agg}_{j\in N(i)} \Psi(h_i^{(l)},h_j^{(l)},e_{ij}) \right)

若 $e_{ij}$ 使用测地距离、角度、平行移动等内在量，可减少对三维刚体姿态和网格嵌入的依赖。

但普通 message passing 只保证顶点置换等变，不自动保证旋转、Möbius 或重新参数化等变。

13.3 测度损失与生成模型

OT 可用于：

点云分布匹配；
形状生成的分布损失；
domain adaptation；
特征分布对齐；
unbalanced OT 处理质量不等或局部缺失。

需要区分：精确 OT、熵正则 OT、sliced Wasserstein、Chamfer distance 并不是同一个量。

14. 共形结构在神经网络中的作用边界

共形几何可提供：

canonical domain：把不同形状映到球面、平面或双曲域；
角度稳定的局部坐标：定义卷积核方向；
内在 Laplacian：谱特征和扩散算子；
Beltrami 场：把形变编码成空间分布的各向异性；
曲率和拓扑特征：跨网格分辨率的几何信号。

它不能自动解决：

语义对应；
对称形状上的唯一规范化；
不同拓扑间的双射；
噪声/缺失导致的拓扑错误；
离散化改变后的跨网格泛化。

15. Python：Sinkhorn 教学实现

import numpy as np


def sinkhorn(a, b, cost, epsilon=0.05, max_iter=5000, tol=1e-9):
    """教学实现；小 epsilon 时应改用 log-domain 版本。"""
    a = np.asarray(a, dtype=float)
    b = np.asarray(b, dtype=float)
    C = np.asarray(cost, dtype=float)

    if not np.isclose(a.sum(), b.sum()):
        raise ValueError("source and target mass must match")
    if np.any(a < 0) or np.any(b < 0):
        raise ValueError("mass must be nonnegative")

    K = np.exp(-C / epsilon)
    u = np.ones_like(a)
    v = np.ones_like(b)

    for iteration in range(max_iter):
        old_u = u.copy()
        u = a / np.maximum(K @ v, 1e-300)
        v = b / np.maximum(K.T @ u, 1e-300)
        if np.max(np.abs(u - old_u)) < tol:
            break

    P = u[:, None] * K * v[None, :]
    row_error = np.max(np.abs(P.sum(axis=1) - a))
    col_error = np.max(np.abs(P.sum(axis=0) - b))
    return P, {
        "iterations": iteration + 1,
        "cost": float(np.sum(P * C)),
        "row_error": float(row_error),
        "col_error": float(col_error),
    }

这个实现容易下溢。工程版应维护对偶 log-potentials：

f_i=\varepsilon\log u_i, \qquad g_j=\varepsilon\log v_j,

并用 logsumexp 更新。

16. 研究/工程检查表

使用 OT 损失时必须报告：

代价 $c$ 的定义与单位；
是否精确 OT、熵正则、unbalanced 或 sliced 近似；
$\varepsilon$ 与迭代停止条件；
边缘残差；
点数/网格分辨率变化下的稳定性；
是否对输入质量归一化；
梯度是否穿过迭代求解器，采用何种隐式/展开求导；
与 Chamfer、Hausdorff、普通 $L^2$ 的对照实验。

使用共形参数域时还要报告：

Möbius 自由度如何固定；
切缝和奇点位置；
共形/面积畸变分布；
不同 triangulation 下结果是否稳定。

读完必须能回答

不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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