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怎样在每个面上测角度、面积和 Cauchy-Riemann 残差？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设原三角形局部二维矩阵

X= \begin{bmatrix} x_j-x_i&x_k-x_i\\ y_j-y_i&y_k-y_i \end{bmatrix},

UV 三角形矩阵

U= \begin{bmatrix} u_j-u_i&u_k-u_i\\ v_j-v_i&v_k-v_i \end{bmatrix}.

仿射映射 Jacobian 为

\boxed{J_t=UX^{-1}.}

用 SVD $J_t=R_1\operatorname{diag}(\sigma_1,\sigma_2)R_2^T$ 可计算：

平面映射 $f=(u,v)$ 的共形条件：

u_x-v_y=0, \qquad u_y+v_x=0.

定义 least-squares conformal energy

E_C(f)=\frac12\int_M \left[(u_x-v_y)^2+(u_y+v_x)^2\right]dA.

展开：

\begin{aligned} 2E_C &=\int_M (u_x^2+u_y^2+v_x^2+v_y^2),dA\\ &\quad-2\int_M(u_xv_y-u_yv_x),dA. \end{aligned}

所以

\boxed{E_C=E_D-A(f),}

其中 $A(f)$ 是有向映射面积（具体 $1/2$ 系数随定义约定）。这再次给出：Dirichlet 能量减面积正是非共形误差。