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离散共形等价怎样直接改变边长，曲率如何响应共形因子？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

参数化算法把网格映到平面；离散共形几何还研究“哪些分片平坦度量属于同一共形类”。常用 vertex scaling 定义：

\boxed{ \tilde l_{ij}=e^{(u_i+u_j)/2}l_{ij}. }

$u_i$ 是离散共形因子。改变 $u$ 会改变角度和顶点曲率，但保留一个离散意义下的共形结构。

当三角不等式失效或需要跨越不同 Delaunay 区域时，执行 intrinsic edge flip。四边形翻边的边长更新由 Ptolemy 关系联系，这是离散 Möbius 几何的重要结构。

离散曲率

K_i(u)=2\pi-\sum_{t\ni i}\theta_i^t(u).

在一个固定 Delaunay 区域内，其 Jacobian 与余切 Laplacian 密切相关：

\frac{\partial K_i}{\partial u_j} \sim -w_{ij},\qquad i\ne j.

因此处方目标曲率 $\bar K$ 可定义势能

\nabla E(u)=K(u)-\bar K,

Hessian 是半正定 Laplace 型矩阵。固定整体尺度后，可用 Newton 法求解。这是离散 Ricci flow 章节的基础。