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度量如何把微分形式变成可计算的内积与 Laplacian？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

给定黎曼度量 $g$ ，可以定义 $k$ -形式的逐点内积 $\langle\alpha,\beta\rangle_g$ ，进而定义全局 $L^2$ 内积

(\alpha,\beta)=\int_M\langle\alpha,\beta\rangle_g,dA_g.

Hodge 星

\star:\Omega^k(M)\to\Omega^{n-k}(M)

由关系

\alpha\wedge\star\beta =\langle\alpha,\beta\rangle_g,dV_g

定义。

在标准定向欧氏平面：

\star 1=dx\wedge dy, \qquad \star dx=dy, \qquad \star dy=-dx, \qquad \star(dx\wedge dy)=1.

所以对 1-形式 $\omega=a,dx+b,dy$ ：

\star\omega=-b,dx+a,dy.

它相当于把对应向量逆时针旋转 $90^\circ$ 。二维中 $\star^2=-1$ 作用在 1-形式上，这使 $\star$ 扮演虚数单位 $i$ 的角色，成为复结构和全纯微分的桥梁。

外微分的形式伴随称为余微分。符号约定依维度和次数略有差异，一般写成

\delta=(-1)^{n(k+1)+1}\star d\star

作用在 $k$ -形式上。它满足

(d\alpha,\beta)=(\alpha,\delta\beta)

（忽略或固定适当边界项）。

Hodge-Laplacian 为

\Delta=d\delta+\delta d.

对 0-形式 $f$ ， $\delta f=0$ ，因此

\Delta f=\delta df,

它与 Laplace–Beltrami 算子只差可能的符号约定。

一个形式 $\omega$ 调和，当且仅当

\Delta\omega=0.

在紧致无边界流形上：

(\Delta\omega,\omega) =\|d\omega\|^2+\|\delta\omega\|^2.

因此

\Delta\omega=0 \Longleftrightarrow d\omega=0,\quad\delta\omega=0.

调和形式既无“旋”，也无“散”。