这条谱系研究什么

单纯形网格不是一个算法，而是五个彼此耦合的问题：

\text{几何谓词} \to \text{点集剖分} \to \text{约束边界恢复} \to \text{尺寸/质量控制} \to \text{工程鲁棒性}.

二维三角剖分理论相对完整；三维还要面对 sliver、复杂 PLC 边界、极端尺度和 CAD 容差。阅读时要检查论文处理的是点集、分片线性复形（PLC）、封闭曲面还是脏 CAD，不能把结论外推到另一类输入。

1981–1994：三大家族形成

级别	年份与论文	它推进了什么	阅读时盯住什么
A	Bowyer, Computing Dirichlet Tessellations, 1981	用删除受新点影响的空球腔体完成增量更新	腔体边界为何仍形成合法复形
A	Watson, Computing the n-dimensional Delaunay Tessellation, 1981	给出任意维增量 Delaunay 构造	退化共球点与浮点谓词
B	Yerry–Shephard, Modified-Octree Approach, 1984	以空间递归细分控制尺寸和几何定位	模板、平衡条件与边界切割
A	Löhner–Parikh, Three-Dimensional Grid Generation by the Advancing-Front Method, 1988	从边界向内部推进，直接控制近边界点布置	碰撞检测、前沿闭合和局部失败恢复
B	Blacker–Stephenson, Paving, 1991	建立二维全四边形前沿模板传统	它是 quad 谱系的一部分，却依赖单纯形时代形成的前沿思想
B	Parthasarathy 等, A Comparison of Tetrahedron Quality Measures, 1994	系统比较四面体形状指标	指标对缩放、退化与有限元误差的响应是否一致

这一阶段确立了 Delaunay、octree 和 AFT 三种基本组织方式。它们不是互斥的：工业系统常用 octree 定尺寸与定位，用 Delaunay 保连接，再用前沿或局部模板保护边界。

Ruppert 和 Shewchuk 的核心不是“不断加点”这么简单，而是证明三件事：

级别	论文	理论位置	不能误读为
A	Ruppert, A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2D Mesh Generation, 1995	二维约束域质量与尺寸最优性的经典证明	对任意小输入角都无条件成立
A	Shewchuk, Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation, 2002	统一分析多个 refinement 变体与输入角问题	三维四面体已得到同样强的角度保证
A	Shewchuk, Adaptive Precision Floating-Point Arithmetic and Fast Robust Predicates, 1997	把 `orient`/`incircle` 的符号从数值猜测变成可保证判断	所有构造误差都自动消失；坐标构造仍需处理
C	Triangle	将二维约束 Delaunay、质量 refinement 与谓词做成基准实现	只看 GUI 结果而忽略命令参数和输入假设

三维最大的区别是：好的半径边比不排除 sliver。sliver 的四条边可以相近，外接球半径也不夸张，但体积趋近于零。因此三维质量改进还需要扰动、加权 Delaunay、拓扑操作或全局优化。

级别	论文/软件	贡献	研究边界
A	Schöberl, NETGEN, 1997	展示面向工程几何的推进式自动网格器	工程启发式与理论质量界要分开评价
B	Du–Faber–Gunzburger, Centroidal Voronoi Tessellations, 1999	建立 CVT 的统一数学框架	Lloyd 收敛到驻点，不保证全局最优或边界正确
A	Knupp, Algebraic Mesh Quality Metrics, 2001	用目标 Jacobian 与不变量组织质量指标	几何指标与特定 PDE 误差不是同义词
B	Alliez–Cohen-Steiner–Yvinec–Desbrun, Variational Tetrahedral Meshing, 2005	将四面体化写成变分能量优化	输入边界、特征与优化局部极小值
B	Cheng–Dey, Quality Meshing with Weighted Delaunay Refinement, 2005	用加权结构处理三维质量和拓扑约束	理论输入条件与实现复杂度
B	Labelle–Shewchuk, Isosurface Stuffing, 2007	以 BCC 格背景网格对隐式曲面给出角度界	主要面向隐式几何，不等同于原 CAD 拓扑恢复
B	Klingner–Shewchuk, Aggressive Tetrahedral Mesh Improvement, 2007	组合 flip、平滑、顶点插删等局部操作	操作序列依赖与全局最优不可得
C	Gmsh, 2009	统一几何、网格、有限元与脚本接口	不同算法后端的保证不相同
C	TetGen, 2015	工程化约束 Delaunay 四面体化与质量控制	复杂 PLC 的容差、交叉和小特征仍需前处理

传统理论常假设输入是无自交、封闭、定向一致的二维流形。真实扫描/CAD 三角汤可能有孔洞、自交、重复面和非流形连接。TetWild 的研究转折是接受不理想输入，把边界逼近误差、网格有效性和工程成功率放在同一管线中。

级别	工作	关键变化	复现入口
A	TetWild, 2018	在容差内生成可仿真的四面体网格，而不要求先完美修复输入	项目页
A	fTetWild, 2020	在保持鲁棒性的同时显著提高速度与实用性	GitHub
B	Tetrahedral Remeshing for Large-Scale Simulation and HPC, 2022	将局部重网格、并行和大规模模拟放在一起考察	与 MMG 生态结合阅读
B	Tet versus Hex for Large-Scale FEM, 2022	在统一求解任务上重新审视单元类型优劣	结论依赖离散阶次、自由度预算和求解器

层级	典型量	回答的问题
几何形状	最小角、半径边比、inradius/circumradius	单元是否细长或接近退化
映射有效性	$\det J$ 、scaled Jacobian、条件数	单元映射是否翻转、畸变多大
离散算子	刚度矩阵条件数、插值误差常数	对特定有限元空间有什么影响
求解表现	误差、迭代数、时间、内存	在给定 PDE 和求解器上是否真正更好

补充阅读：

Shewchuk, What Is a Good Linear Element?, 2002：解释“好形状”为何依赖误差范数与 PDE；
Knupp, Algebraic Mesh Quality Metrics for Unstructured Initial Meshes, 2003：把目标矩阵类代数指标用于非结构初始网格；
Verdict Mesh Quality Library：工程指标定义与实现参考；
Sorgente 等, 2023：从多面体/聚合视角重新系统化质量指标。