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为什么曲率导数像 Laplacian，Newton 法在最小化什么？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

在固定组合结构和合法度量区域内，离散曲率对 $u$ 的导数构成对称矩阵：

H_{ij}=\frac{\partial K_i}{\partial u_j}.

在常见欧氏 vertex scaling 约定中， $H$ 是余切 Laplace 型矩阵（具体符号和 $1/2$ 因子依 $u$ 定义而异）：

H_{ij}\propto -w_{ij},\quad i\ne j,

H_{ii}=-\sum_{j\ne i}H_{ij}.

因此：

若曲率 1-形式

\sum_i(K_i(u)-\bar K_i)du_i

是闭的，则存在势能

E(u)=\int_{u_0}^{u}\sum_i(K_i(s)-\bar K_i)ds_i.

满足

\nabla E(u)=K(u)-\bar K,

\nabla^2E(u)=H(u).

求目标曲率等价于最小化 $E$ 。

解

H(u)\,\delta u=\bar K-K(u),

更新

u\leftarrow u+s\delta u, \qquad0<s\le1.

需要固定一个 $u_i$ 或约束

\sum_i u_i=0

消除尺度零空间。