自动关联目录：离散 Ricci 流与双曲结构

本章目标

参数化可以通过求坐标实现，也可以通过改度量实现：在同一共形类内调节局部尺度，使高斯曲率达到目标分布，然后把所得平坦/球面/双曲度量发展到标准空间。

本章建立：

$$\text{连续共形度量变化} \to \text{Yamabe/Ricci flow} \to \text{离散顶点缩放或 circle packing} \to \text{凸能量与 Newton 算法}.$$

1. 连续二维 Ricci 流

一般 Ricci 流：

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric}(g).$$

二维中

$$\operatorname{Ric}=Kg,$$

所以

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2Kg.$$

这是纯共形变化。若$g(t)=e^{2u(t)}g_0$，则

$$2\frac{\partial u}{\partial t}g =-2Kg,$$

故

$$\frac{\partial u}{\partial t}=-K.$$

1.1 归一化 Ricci 流

为了保持面积，使用平均曲率

$$\bar K=\frac{\int_MK,dA}{\operatorname{Area}(M)} =\frac{2\pi\chi(M)}{\operatorname{Area}(M)},$$

并令

$$\boxed{ \frac{\partial g}{\partial t} =-2(K-\bar K)g, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}=\bar K-K. }$$

曲率高于平均处收缩，低于平均处膨胀，最终趋向常曲率度量（在相应条件下）。

2. 共形曲率变换与 Yamabe 方程

若

$$\tilde g=e^{2u}g,$$

二维曲率满足

$$K_{\tilde g}=e^{-2u}(K_g-\Delta_gu).$$

给定目标曲率$\bar K(x)$，求$u$ 满足

$$\boxed{-\Delta_gu+K_g=\bar K e^{2u}.}$$

它是非线性椭圆 PDE。Gauss–Bonnet 给出必要兼容条件：

$$\int_M\bar K,dA_{\tilde g}=2\pi\chi(M).$$

离散情形也必须满足目标曲率总和约束。

3. 离散曲率处方问题

给定三角网格和初始内在边长$l_{ij}^0$，寻找离散共形因子$u_i$，产生新边长$l_{ij}(u)$，使

$$K_i(u)=\bar K_i.$$

目标曲率必须满足：

$$\sum_{i\in V^\circ}\bar K_i +\sum_{i\in\partial V}\bar k_i =2\pi\chi(M).$$

此外还存在局部可实现性不等式；只满足总和通常不够。

4. 两类离散共形度量

4.1 Circle packing / circle pattern

给每个顶点圆半径$r_i=e^{u_i}$。在欧氏背景中，一种常见边长模型：

$$l_{ij}^2 =r_i^2+r_j^2+2r_ir_j\cos\Phi_{ij},$$

其中$\Phi_{ij}$ 是交角。相切圆对应$\Phi_{ij}=0$，于是$l_{ij}=r_i+r_j$。

4.2 Vertex scaling

以已有边长为基准：

$$\boxed{l_{ij}(u)=e^{(u_i+u_j)/2}l_{ij}^0.}$$

它是连续共形缩放的离散对应。每个三角形角度由新边长通过余弦定理计算。

固定 triangulation 时，某些$u$ 会使三角不等式失效。现代离散共形理论通常允许执行 intrinsic Delaunay flip，使算法跨越不同三角剖分单元。

5. 离散 Ricci/Yamabe 流

最直接的 ODE：

$$\boxed{ \frac{du_i}{dt}=\bar K_i-K_i(u). }$$

显式 Euler：

$$u_i^{(n+1)} =u_i^{(n)}+\Delta t(\bar K_i-K_i(u^{(n)})).$$

它直观但步长受稳定性限制。更快方法利用变分能量和 Hessian 做 Newton 迭代。

6. 曲率映射的 Jacobian

在固定组合结构和合法度量区域内，离散曲率对$u$ 的导数构成对称矩阵：

$$H_{ij}=\frac{\partial K_i}{\partial u_j}.$$

在常见欧氏 vertex scaling 约定中，$H$ 是余切 Laplace 型矩阵（具体符号和$1/2$ 因子依$u$ 定义而异）：

$$H_{ij}\propto -w_{ij},\quad i\ne j,$$

$$H_{ii}=-\sum_{j\ne i}H_{ij}.$$

因此：

• $H$ 对称；
• $H\mathbf1=0$，统一加常数只改变整体尺度；
• 固定尺度后通常正定/半正定；
• 曲率处方可写成凸优化。

7. Ricci 能量

若曲率 1-形式

$$\sum_i(K_i(u)-\bar K_i)du_i$$

是闭的，则存在势能

$$E(u)=\int_{u_0}^{u}\sum_i(K_i(s)-\bar K_i)ds_i.$$

满足

$$\nabla E(u)=K(u)-\bar K,$$

$$\nabla^2E(u)=H(u).$$

求目标曲率等价于最小化$E$。

7.1 Newton 步

解

$$H(u)\,\delta u=\bar K-K(u),$$

更新

$$u\leftarrow u+s\delta u, \qquad0<s\le1.$$

需要固定一个$u_i$ 或约束

$$\sum_i u_i=0$$

消除尺度零空间。

8. line search 与合法性

Newton 全步可能造成：

• 三角不等式失效；
• 能量上升；
• 曲率残差增大；
• 需要 Delaunay flip 却未执行。

回溯线搜索：从$s=1$ 开始反复减半，直到

1. 所有三角形合法；
2. 能量满足 Armijo 下降；
3. 若使用动态 triangulation，完成必要翻边后重新评估。

停止条件应同时看

$$\|K(u)-\bar K\|_\infty<\varepsilon_K$$

和线性求解残差。

9. Intrinsic Delaunay triangulation

内部边$(i,j)$ 两侧对角$\alpha,\beta$ 满足 intrinsic Delaunay 条件

$$\alpha+\beta\le\pi.$$

等价于

$$\cot\alpha+cot\beta\ge0.$$

所以 Delaunay 三角剖分保证余切边权非负。度量改变时 Delaunay 条件可能被破坏，需要 flip 对角线。

9.1 Ptolemy 更新

对共圆四边形边长$a,b,c,d$ 和对角线$e,f$：

$$ef=ac+bd.$$

离散共形 flip 可用 Ptolemy 关系更新新对角线，保持离散共形结构的一致性。

10. 从目标曲率得到标准参数域

10.1 球面型：$\chi>0$

闭 genus-0 曲面目标常取常正曲率。得到球面度量后，用发展映射或离散嵌入恢复$S^2$ 上坐标，再用 Möbius 归一化消除自由度。

10.2 欧氏型：$\chi=0$

环面目标曲率全为 0，得到平坦度量。沿同调基切开并发展到平面，获得平行四边形周期域。

带边界圆盘常将内部曲率设为 0，并将边界曲率集中或均匀分布，使其展开为平面多边形。

10.3 双曲型：$\chi<0$

高亏格闭曲面目标为负曲率。离散双曲三角形边长和角度使用双曲余弦定理：

$$\cosh c =\cosh a\cosh b -\sinh a\sinh b\cos C.$$

最终发展到 Poincaré 圆盘或上半平面，并记录 Fuchsian 群边配对。

11. 双曲几何基础

Poincaré 圆盘度量：

$$ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{(1-x^2-y^2)^2}.$$

距离：

$$d_{\mathbb H}(z,w) =2\operatorname{artanh} \left| \frac{z-w}{1-\bar zw} \right|.$$

圆盘自同构

$$z\mapsto e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar az}$$

既是 Möbius 变换，也是双曲等距。

双曲三角形面积：

$$A=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$$

（曲率$-1$）。角和小于$\pi$，角亏损直接等于面积。

12. 离散曲率流伪代码

input: triangulation T, initial lengths l0, target curvature K_bar
u <- 0
fix scale gauge, e.g. sum(u) = 0

repeat:
    l <- conformal_lengths(l0, u)
    while T is not intrinsic Delaunay:
        flip offending edge
        update intrinsic length with Ptolemy relation

    theta <- triangle_angles(l)
    K <- angle_defects(theta)
    residual <- K - K_bar
    if max_abs(residual) < tolerance: break

    H <- curvature_jacobian(theta)  # Laplace-type Hessian
    du <- solve_gauged_system(H, -residual)
    step <- backtracking_line_search(u, du)
    u <- u + step * du

output: conformal factor u, final intrinsic metric l, triangulation T

13. 数值不变量与诊断

每次迭代至少记录：

14. Ricci flow 与调和参数化的区别

15. 常见错误

1. 目标曲率不满足 Gauss–Bonnet，问题根本无解。
2. 忘记固定尺度，Hessian 奇异。
3. 固定原三角剖分不翻边，迭代撞上三角不等式边界。
4. 把角度亏损当作曲率密度；二者相差 dual area。
5. Newton 不做 line search，远离解时发散。
6. 得到目标度量后直接把原三维坐标当作参数坐标；仍需发展映射。
7. 球面/双曲参数未做自同构归一化，比较结果会漂移。

16. 习题

计算题

1. 从$g(t)=e^{2u(t)}g_0$ 推导二维 Ricci 流的$u_t=-K$。
2. 给定一个四面体表面，设计满足 Gauss–Bonnet 的均匀目标曲率。
3. 对双曲三角形$a=b=c$ 推导角与边长关系。
4. 验证 Poincaré 圆盘距离在圆盘 Möbius 自同构下不变。

证明题

1. 证明归一化 Ricci 流保持总面积。
2. 用 Gauss–Bonnet 说明闭环面不可能具有处处正曲率的常曲率度量。
3. 解释$H\mathbf1=0$ 对应整体尺度自由度。
4. 证明 Delaunay 条件等价于余切权重非负。

实现题

1. 实现 Euclidean vertex scaling 和三角角度重算。
2. 用有限差分验证解析曲率 Jacobian$H$。
3. 实现带零均值约束的 Newton 迭代与回溯线搜索。
4. 对带孔圆盘指定边界曲率，展开为平面圆域。
5. 输出每轮能量、最大曲率残差和 flip 次数的曲线。

17. 本章结论

离散 Ricci 流的核心不是“反复改半径”，而是一个受拓扑约束的凸变分问题：

$$\boxed{ \text{共形因子 }u \xrightarrow{\text{边长}} \text{角度} \xrightarrow{\text{角亏损}} K(u), \quad \nabla E=K-\bar K. }$$

它将一致化定理变成可计算算法，并自然处理球面、平坦和双曲三类曲面。

下一篇讨论课程最后一条主线：最优输运如何从测度匹配、凸几何和 Monge–Ampère 方程进入几何处理与深度学习：最优输运与几何深度学习。