先用六层管线整理文献

四边形网格研究最容易被算法名淹没。把论文放回管线，就能看出它究竟解决哪一层：

flowchart LR
    A[几何/特征] --> B[方向场]
    B --> C[奇异点与拓扑]
    C --> D[可积场/无缝参数化]
    D --> E[整数周期与量化]
    E --> F[网格提取]
    F --> G[布局和质量优化]

方向场只规定局部轴向；参数化需要它是坐标函数的梯度；整数格点图还要切缝跳跃满足$90^\circ$ 旋转与整数平移；最终网格提取必须处理翻转、退化和切缝识别。任一层成功都不自动推出后一层成功。

1991–2005：前沿、调和函数与几何驱动

早期工程路线的优点是边界直观、容易和 CAD 交互；缺点是内部拓扑由局部推进事件产生，很难全局控制奇异点。后来的方向场和参数化路线正是在解决这种“全局不可预见性”。

2006–2011：全局参数化成为主线

从周期坐标到整数变量

设切开曲面后的坐标为$\phi=(u,v)$。切缝两侧允许

$$\phi_j=R_{k\pi/2}\phi_i+t, \qquad t\in\mathbb Z^2.$$

旋转编码四向对称，整数平移保证等参数线在切缝处仍落在同一张整数格上。混合整数优化不是附加技巧，而是离散拓扑信息的载体。

2012–2017：从“求一个场”到“保证可积并可靠提取”

2018–2025：鲁棒性、拓扑可实现性与自动化

四种“成功”必须分开报告

开源实现与复现基线

• Instant Meshes：适合建立快速场对齐基线；
• libQEx：专门研究显式提取层；
• QuadWild：研究特征线和实际模型上的鲁棒 quad 生成；
• Directional：实验方向场、离散联络与匹配；
• libigl MIQ tutorial：适合从最小代码理解 MIQ 数据流。

复现时要保存中间产物：输入三角网格、场、奇异点、切图、参数坐标、整数跳跃和最终 quad。只保存最终 OBJ，无法定位失败发生在哪一层。

真正连续的理论问题

1. 拓扑必要条件：Poincaré–Hopf 约束奇异指数总和；
2. holonomy：方向沿闭环平移后如何旋转；
3. 可积性：目标轴是否来自局部坐标函数的梯度；
4. 周期量化：闭环积分能否落到整数格；
5. 局部单射：参数 Jacobian 是否处处保持正定向；
6. 有限布局：积分轨线是否形成有限 patch，而非螺旋或稠密轨道。

这六问分别对应不同数学工具，不能用一个“场很光滑”的指标代替。

推荐阅读次序

1. 先读 2013 quad survey 和 2016 direction-field survey；
2. 用 PGP → QuadCover → MIQ 看三种全局化方式；
3. 读 Integer-Grid Maps 与 QEx，把“隐式网格”接到显式网格；
4. 读 Integrable PolyVector Fields，分清光滑与可积；
5. 读 2022/2023 两篇存在性工作，理解为什么指数条件不够；
6. 最后比较 Instant Meshes、QuadriFlow、QuadWild 和学习方法的工程取舍。

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