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局部微分信息怎样控制边界积分，洞又怎样阻止势函数存在？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

对定向 $k$ 维流形 $M$ 和紧支撑 $(k-1)$ -形式 $\omega$ ：

\boxed{\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.}

它包含：

令 $\omega=Pdx+Qdy$ ，则

d\omega=(Q_x-P_y)dx\wedge dy.

Stokes 定理给出

\oint_{\partial\Omega}Pdx+Qdy =\iint_\Omega(Q_x-P_y)dxdy.

这说明边界上的总环量等于内部旋度的总量。

若 $d\omega=0$ ， $\omega$ 称为闭形式。若存在 $\eta$ 使 $\omega=d\eta$ ，称为恰当形式。因为 $d^2=0$ ：

\text{恰当}\Longrightarrow\text{闭合}.

反方向局部成立（Poincaré 引理），全局不一定成立。

在 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上定义

\omega= \frac{-y}{x^2+y^2}dx +\frac{x}{x^2+y^2}dy.

直接计算可得 $d\omega=0$ 。但沿单位圆 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ ：

\int_\gamma\omega=\int_0^{2\pi}dt=2\pi.

若 $\omega=df$ ，则任意闭路积分都应为 0，矛盾。因此 $\omega$ 闭但不恰当。它检测到了原点这个洞。

H^k_{dR}(M) =\frac{\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})} {\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)}.

de Rham 定理说明

H^k_{dR}(M)\cong H^k(M;\mathbb R),

即解析定义的微分形式上同调与拓扑定义的奇异/单纯上同调一致。这正是“用 PDE 计算拓扑”的理论基础。