本课只解决一个问题

一个二维到二维的变形，在某一点附近究竟怎样拉伸和旋转？

一元函数用一个导数描述局部变化；多元函数需要偏导、梯度和 Jacobian 矩阵。

1. 偏导：一次只改变一个输入

设

$$f(x,y)=x^2+3xy+y^2.$$

对$x$ 求偏导时把$y$ 暂时当常数：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y.$$

对$y$ 求偏导：

$$\frac{\partial f}{\partial y}=3x+2y.$$

符号$\partial$ 用来提醒我们：函数有多个输入，只改变其中一个。

2. 梯度收集所有坐标方向变化率

标量函数$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 的梯度是

$$\nabla f= \begin{pmatrix} \partial f/\partial x_1\\ \vdots\\ \partial f/\partial x_n \end{pmatrix}.$$

上例在点$(1,2)$：

$$\nabla f(1,2)= \begin{pmatrix}2+6\\3+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}.$$

3. 方向导数从梯度得到

沿单位方向$v$ 走小步$h$，一阶变化为

$$f(x+hv)-f(x)\approx h\nabla f(x)\cdot v.$$

因此方向导数是

$$D_vf=\nabla f\cdot v.$$

由 Cauchy–Schwarz 不等式，单位向量中取$v=\nabla f/\|\nabla f\|$ 时该值最大，所以梯度指向增长最快方向。

4. 多输出函数需要 Jacobian

考虑

$$F(x,y)= \begin{pmatrix} F_1(x,y)\\F_2(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2-y\\x+2y \end{pmatrix}.$$

Jacobian 矩阵把所有一阶偏导排在一起：

$$J_F(x,y)= \begin{pmatrix} \partial F_1/\partial x&\partial F_1/\partial y\\ \partial F_2/\partial x&\partial F_2/\partial y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x&-1\\1&2 \end{pmatrix}.$$

在$(1,0)$ 处，$J_F=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}$。

5. Jacobian 是最佳局部线性映射

对很小的位移$h\in\mathbb R^2$：

$$F(p+h)\approx F(p)+J_F(p)h.$$

所以非线性变形$F$ 在每一点附近，都由一个矩阵$J_F(p)$ 描述。这个矩阵回答：

• 小方向被送到哪里；
• 长度如何改变；
• 角度是否保持；
• 面积缩放与方向是否翻转。

这正是计算共形几何检查局部畸变的核心。

6. 从 Jacobian 读面积和翻转

二维映射的局部有向面积缩放为

$$\det J_F.$$

• $\det J_F>0$：局部保持方向；
• $\det J_F<0$：局部翻转；
• $\det J_F=0$：局部压扁，不能局部求逆。

上例在$(1,0)$：

$$\det J_F=2\cdot2-(-1)\cdot1=5>0.$$

7. 局部保角的矩阵条件

若$F$ 在点$p$ 附近保角，则 Jacobian 必须是“统一缩放乘旋转”：

$$J_F(p)^TJ_F(p)=\lambda(p)^2I.$$

也就是说，Jacobian 的两列必须：

1. 互相垂直；
2. 长度相同。

这比“看起来没有扭曲”精确得多。

8. 多维链式法则

若先做$F$ 再做$G$，则

$$J_{G\circ F}(x)=J_G(F(x))J_F(x).$$

右侧顺序与矩阵复合一致：右边的$J_F$ 先作用。坐标变换、参数化和度量拉回都依赖这条规则。

9. 手算例子：非均匀缩放

$$F(x,y)=(2x,y).$$

Jacobian 到处都是

$$J_F=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

其列互相垂直，但长度分别为$2$ 和$1$，不相等。因此它保持坐标轴夹角，却不保持所有方向之间的角，故不是共形映射。

10. 常见误区

1. 梯度只用于标量输出；多输出函数使用 Jacobian。
2. 偏导都存在不总能保证函数可微，还需要适当连续性条件。
3. $\det J>0$ 只说明没有局部翻转，不说明保角。
4. Jacobian 描述一点附近，不代表整个区域使用同一个矩阵。

11. 自测与答案

题 1。 求$f(x,y)=x^2+y^2$ 在$(3,4)$ 的梯度。

答案。$\nabla f=(2x,2y)^T=(6,8)^T$。

题 2。$F(x,y)=(x-y,x+y)$ 的 Jacobian 是什么？

答案。$\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$。

题 3。 上题映射是否局部保角？

答案。 两列垂直且长度都为$\sqrt2$，所以$J^TJ=2I$，是旋转加统一缩放，保角。

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