自动关联目录：微分拓扑与 Hodge 分解

本章目标

向量分析把梯度、旋度和散度写成三个看似不同的算子；微分形式把它们统一成一个外微分$d$。Hodge 理论再加入度量，把每个微分形式正交分解为恰当、余恰当和调和三部分。

本章学完后，你应当能够：

1. 从曲线等价类定义切向量，从切向量的对偶定义 1-形式；
2. 计算楔积、拉回和外微分；
3. 用广义 Stokes 定理统一微积分基本定理、Green、Gauss 和 Stokes 公式；
4. 理解 de Rham 上同调如何检测曲面的洞；
5. 推导 Hodge 星、余微分和 Hodge-Laplacian；
6. 把连续 Hodge 分解写成三角网格上的稀疏线性系统。

1. 切空间：曲面上允许的瞬时运动

1.1 用曲线定义切向量

设$M$ 是光滑曲面，$p\in M$。所有经过$p$ 的光滑曲线$\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ 满足$\gamma(0)=p$。

在一个坐标图$(U,\varphi)$ 中，如果两条曲线满足

$$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\varphi\circ\gamma_1)(t) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\varphi\circ\gamma_2)(t),$$

则认为它们在$p$ 定义同一个切向量。所有切向量构成二维向量空间$T_pM$。

在局部坐标$(u^1,u^2)$ 中，基向量写成

$$\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}, \frac{\partial}{\partial u^2}\right\},$$

任意切向量为

$$X=X^1\frac{\partial}{\partial u^1} +X^2\frac{\partial}{\partial u^2}.$$

1.2 用方向导数定义切向量

切向量也可视为作用在光滑函数上的导子：

$$X:C^\infty(M)\to\mathbb R,$$

满足线性性和 Leibniz 法则

$$X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g).$$

曲线$\gamma$ 对应的导子是

$$X(f)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0}f(\gamma(t)).$$

这个定义不需要把曲面嵌入$\mathbb R^3$，因此是真正内在的。

2. 余切空间与 1-形式

2.1 对偶空间

$T_pM$ 的对偶空间

$$T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R)$$

称为余切空间。它的元素把切向量映成实数。

坐标函数$u^i$ 的微分$du^i$ 定义为

$$du^i\left(\frac{\partial}{\partial u^j}\right)=\delta^i_j.$$

因此$\{du^1,du^2\}$ 是$\{\partial_{u^1},\partial_{u^2}\}$ 的对偶基。

一个 1-形式写成

$$\omega=\omega_1du^1+\omega_2du^2.$$

作用在$X=X^i\partial_{u^i}$ 上：

$$\omega(X)=\omega_iX^i.$$

2.2 函数的微分

对$f:M\to\mathbb R$，

$$df=\frac{\partial f}{\partial u^1}du^1 +\frac{\partial f}{\partial u^2}du^2.$$

$df$ 是 1-形式而不是向量。只有给定黎曼度量$g$ 后，才能通过

$$g(\nabla f,X)=df(X)$$

把它转换为梯度向量$\nabla f$。这一区分很关键：

• $df$ 只依赖微分结构；
• $\nabla f$ 还依赖“如何测长度和角度”的度量。

3. 外代数与微分形式

3.1 楔积

两个 1-形式的楔积满足反对称性

$$\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha.$$

所以

$$du\wedge du=0, \qquad dv\wedge du=-du\wedge dv.$$

若

$$\alpha=a_1du+a_2dv, \qquad \beta=b_1du+b_2dv,$$

则

$$\alpha\wedge\beta =(a_1b_2-a_2b_1)du\wedge dv.$$

系数正是$2\times2$ 行列式，所以楔积测量有向面积。

3.2$k$-形式

$k$-形式是作用在$k$ 个切向量上的交替多线性函数。二维曲面上只有：

• 0-形式：函数；
• 1-形式：沿方向积分的量；
• 2-形式：面积密度；
• $k>2$ 的形式恒为 0。

体积形式在局部写成

$$dA_g=\sqrt{\det g}\,du\wedge dv.$$

4. 拉回：在不同空间之间运输形式

设光滑映射$F:M\to N$。对$N$ 上的$k$-形式$\omega$，拉回$F^*\omega$ 定义为

$$(F^*\omega)_p(X_1,\ldots,X_k) =\omega_{F(p)}(dF_pX_1,\ldots,dF_pX_k).$$

若$N$ 上有 1-形式

$$\omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$$

而$F(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，则

$$F^*\omega =P(F)(x_u du+x_vdv) +Q(F)(y_udu+y_vdv).$$

拉回具有三条关键性质：

$$F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta,$$

$$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*,$$

$$d(F^*\omega)=F^*(d\omega).$$

最后一条说明“先微分再换坐标”与“先换坐标再微分”一致，是坐标无关性的核心。

5. 外微分：统一 grad、curl 与 div

5.1 定义和计算

对函数$f$，外微分就是普通全微分：

$$df=f_u du+f_vdv.$$

对 1-形式$\omega=Pdu+Qdv$，

$$d\omega =dP\wedge du+dQ\wedge dv =(Q_u-P_v)du\wedge dv.$$

对二维 2-形式，外微分为 0，因为不存在非零 3-形式。

5.2 最重要的恒等式

$$d\circ d=0.$$

例如

$$d(df) =d(f_udu+f_vdv) =(f_{vu}-f_{uv})du\wedge dv=0,$$

只要二阶偏导连续。

它统一了：

• 梯度场的旋度为 0；
• 旋度场的散度为 0；
• 单纯链中边界的边界为空。

连续微分形式中的$d^2=0$ 与离散边界矩阵中的$B_1B_2=0$ 是同一代数结构的两个版本。

6. 积分与广义 Stokes 定理

对定向$k$ 维流形$M$ 和紧支撑$(k-1)$-形式$\omega$：

$$\boxed{\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.}$$

它包含：

6.1 Green 公式作为例子

令$\omega=Pdx+Qdy$，则

$$d\omega=(Q_x-P_y)dx\wedge dy.$$

Stokes 定理给出

$$\oint_{\partial\Omega}Pdx+Qdy =\iint_\Omega(Q_x-P_y)dxdy.$$

这说明边界上的总环量等于内部旋度的总量。

7. de Rham 上同调

7.1 闭形式与恰当形式

若$d\omega=0$，$\omega$ 称为闭形式。若存在$\eta$ 使$\omega=d\eta$，称为恰当形式。因为$d^2=0$：

$$\text{恰当}\Longrightarrow\text{闭合}.$$

反方向局部成立（Poincaré 引理），全局不一定成立。

7.2 穿孔平面的标准反例

在$\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上定义

$$\omega= \frac{-y}{x^2+y^2}dx +\frac{x}{x^2+y^2}dy.$$

直接计算可得$d\omega=0$。但沿单位圆$\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$：

$$\int_\gamma\omega=\int_0^{2\pi}dt=2\pi.$$

若$\omega=df$，则任意闭路积分都应为 0，矛盾。因此$\omega$ 闭但不恰当。它检测到了原点这个洞。

7.3 de Rham 上同调群

$$H^k_{dR}(M) =\frac{\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})} {\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)}.$$

de Rham 定理说明

$$H^k_{dR}(M)\cong H^k(M;\mathbb R),$$

即解析定义的微分形式上同调与拓扑定义的奇异/单纯上同调一致。这正是“用 PDE 计算拓扑”的理论基础。

8. 黎曼度量与 Hodge 星

8.1 度量诱导形式内积

给定黎曼度量$g$，可以定义$k$-形式的逐点内积$\langle\alpha,\beta\rangle_g$，进而定义全局$L^2$ 内积

$$(\alpha,\beta)=\int_M\langle\alpha,\beta\rangle_g,dA_g.$$

Hodge 星

$$\star:\Omega^k(M)\to\Omega^{n-k}(M)$$

由关系

$$\alpha\wedge\star\beta =\langle\alpha,\beta\rangle_g,dV_g$$

定义。

8.2 二维正交坐标中的 Hodge 星

在标准定向欧氏平面：

$$\star 1=dx\wedge dy, \qquad \star dx=dy, \qquad \star dy=-dx, \qquad \star(dx\wedge dy)=1.$$

所以对 1-形式$\omega=a,dx+b,dy$：

$$\star\omega=-b,dx+a,dy.$$

它相当于把对应向量逆时针旋转$90^\circ$。二维中$\star^2=-1$ 作用在 1-形式上，这使$\star$ 扮演虚数单位$i$ 的角色，成为复结构和全纯微分的桥梁。

9. 余微分与 Hodge-Laplacian

外微分的形式伴随称为余微分。符号约定依维度和次数略有差异，一般写成

$$\delta=(-1)^{n(k+1)+1}\star d\star$$

作用在$k$-形式上。它满足

$$(d\alpha,\beta)=(\alpha,\delta\beta)$$

（忽略或固定适当边界项）。

Hodge-Laplacian 为

$$\Delta=d\delta+\delta d.$$

对 0-形式$f$，$\delta f=0$，因此

$$\Delta f=\delta df,$$

它与 Laplace–Beltrami 算子只差可能的符号约定。

一个形式$\omega$ 调和，当且仅当

$$\Delta\omega=0.$$

在紧致无边界流形上：

$$(\Delta\omega,\omega) =\|d\omega\|^2+\|\delta\omega\|^2.$$

因此

$$\Delta\omega=0 \Longleftrightarrow d\omega=0,\quad\delta\omega=0.$$

调和形式既无“旋”，也无“散”。

10. Hodge 分解定理

设$M$ 是紧致、定向、无边界黎曼流形。任意$k$-形式$\omega$ 唯一分解为

$$\boxed{ \omega=d\alpha+\delta\beta+h }$$

其中：

• $d\alpha$ 是恰当部分；
• $\delta\beta$ 是余恰当部分；
• $h$ 是调和部分，$dh=\delta h=0$。

三部分在$L^2$ 内积下两两正交。

10.1 为什么三部分正交

对恰当与余恰当部分：

$$(d\alpha,\delta\beta) =(dd\alpha,\beta)=0.$$

对调和$h$：

$$(d\alpha,h)=(\alpha,\delta h)=0,$$

$$(\delta\beta,h)=(\beta,dh)=0.$$

10.2 Hodge 定理

每个 de Rham 上同调类中存在唯一调和代表：

$$\mathcal H^k(M)\cong H^k_{dR}(M).$$

所以

$$\dim\mathcal H^k(M)=\beta_k.$$

亏格$g$ 的闭可定向曲面有$2g$ 维调和 1-形式空间。这些调和 1-形式不是局部噪声，而是曲面全局拓扑的解析编码。

11. 向量场版本的 Hodge 分解

在二维曲面上借助度量把 1-形式和切向量场对应，可写成

$$X=\nabla f+J\nabla g+h,$$

其中：

• $\nabla f$：无旋梯度场；
• $J\nabla g$：把梯度旋转$90^\circ$，为无散场；
• $h$：调和场，携带全局周期。

flowchart LR
    X[任意切向量场 X] --> G[梯度部分 grad f]
    X --> C[旋转梯度 J grad g]
    X --> H[调和部分 h]
    G --> E[由源与汇决定]
    C --> V[由涡旋决定]
    H --> T[由曲面拓扑和周期决定]

在球面上$\beta_1=0$，没有非零调和 1-形式；在环面上有两个独立调和方向。

12. 离散外微分：incidence matrix

三角网格上：

• 离散 0-形式：顶点值$f\in\mathbb R^V$；
• 离散 1-形式：有向边值$\omega\in\mathbb R^E$；
• 离散 2-形式：面值$\eta\in\mathbb R^F$。

上一章的边界矩阵$B_1,B_2$ 给出离散外微分：

$$d_0=B_1^T:C^0\to C^1,$$

$$d_1=B_2^T:C^1\to C^2.$$

由于$B_1B_2=0$：

$$d_1d_0=B_2^TB_1^T=(B_1B_2)^T=0.$$

对边$e=(i,j)$：

$$(d_0f)_{ij}=f_j-f_i.$$

对面$t=(i,j,k)$：

$$(d_1\omega)_{ijk} =\omega_{ij}+\omega_{jk}+\omega_{ki}.$$

这部分完全由拓扑决定，不依赖顶点坐标和边长。

13. 离散 Hodge 星：把度量加入链复形

离散外微分只知道连接关系。要定义内积、伴随和 Laplacian，需要离散 Hodge 星矩阵$\star_k$。

在离散外微分（DEC）的 circumcentric dual 中，常用对角近似：

$$(\star_k)_{\sigma^k,\sigma^k} =\frac{|\star\sigma^k|}{|\sigma^k|},$$

即对偶单元体积与原单元体积的比。

二维中：

$$(\star_0)_{ii}=|\star v_i|,$$

$$(\star_1)_{ee}=\frac{|\star e|}{|e|},$$

$$(\star_2)_{tt}=\frac{1}{|t|}.$$

离散$k$-形式内积是

$$\langle\alpha,\beta\rangle_k =\alpha^T\star_k\beta.$$

13.1 离散余微分

$d_{k-1}$ 关于上述内积的伴随满足

$$\delta_k =\star_{k-1}^{-1}d_{k-1}^T\star_k$$

（整体符号依约定）。于是离散 Hodge-Laplacian

$$\Delta_k=d_{k-1}\delta_k+\delta_{k+1}d_k.$$

14. 离散 Hodge 分解的线性系统

给定离散 1-形式$\omega$，希望求

$$\omega=d_0f+\delta_2\eta+h.$$

利用正交投影：

14.1 求恰当部分

最小化

$$\min_f\|\omega-d_0f\|_{\star_1}^2.$$

法方程为

$$d_0^T\star_1d_0f=d_0^T\star_1\omega.$$

左侧正是 0-形式的 stiffness/Laplace 矩阵。常数函数位于零空间，所以必须固定一个顶点或加零均值约束。

14.2 求余恰当部分

可令$\delta_2\eta=\star_1^{-1}d_1^T\star_2\eta$，再做相同的加权最小二乘。二维中也常将 2-形式写成标量势，通过旋转梯度求解。

14.3 求调和余量

$$h=\omega-d_0f-\delta_2\eta.$$

数值上检查

$$\|d_1h\|\approx0, \qquad \|\delta_1h\|\approx0.$$

15. 余切 Laplacian 从 Hodge 星出现

在三角网格上，0-形式的离散 Laplace 能量可写成

$$E(f)=\frac12(d_0f)^T\star_1(d_0f) =\frac12 f^T(d_0^T\star_1d_0)f.$$

对内部边$(i,j)$，若两侧对角为$\alpha_{ij},\beta_{ij}$，则对应权重

$$w_{ij}=\frac12(\cot\alpha_{ij}+\cot\beta_{ij}).$$

因此

$$E(f)=\frac12\sum_{(i,j)\in E}w_{ij}(f_i-f_j)^2.$$

这表明余切权重不是经验技巧，而是离散 Hodge 星或分片线性有限元的自然结果。

16. 例子：环面上的调和 1-形式

把平面按周期$(1,0),(0,1)$ 商掉得到平坦环面。两个常数 1-形式

$$\omega_1=dx, \qquad \omega_2=dy$$

都满足

$$d\omega_i=0, \qquad \delta\omega_i=0.$$

但它们不是全局恰当形式：若$dx=df$，则沿$x$ 周期积分应为 0，实际上

$$\oint_a dx=1.$$

它们构成$H^1(T^2)$ 的基。组合

$$\omega=dx+i\,dy=dz$$

是一个全纯 1-形式，这条线索会在黎曼面章节继续发展。

17. Python：验证离散复形

import numpy as np


def verify_complex(B1, B2, atol=1e-12):
    defect = B1 @ B2
    max_abs = 0.0 if defect.nnz == 0 else np.abs(defect.data).max()
    if max_abs > atol:
        raise ValueError(f"boundary of boundary is not zero: {max_abs}")
    return max_abs


def exact_projection(d0, star1, omega, anchor=0):
    # 解 d0^T star1 d0 f = d0^T star1 omega。
    # 删除一个自由度消除常数零空间。
    from scipy.sparse.linalg import spsolve

    L = d0.T @ star1 @ d0
    rhs = d0.T @ star1 @ omega
    keep = np.arange(L.shape[0]) != anchor
    f = np.zeros(L.shape[0])
    f[keep] = spsolve(L[keep][:, keep].tocsr(), rhs[keep])
    return d0 @ f, f

生产实现还需要处理：

• 有边界时的 absolute/relative boundary condition；
• obtuse triangle 导致的负 dual length；
• 多连通域的多个常数零空间；
• 迭代求解器与预条件器；
• 数值秩和拓扑零空间的区分。

18. 容易混淆的概念

19. 习题

计算题

1. 对$\omega=(x^2-y)dx+(x+y^2)dy$ 计算$d\omega$。
2. 在极坐标$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 下计算$dx\wedge dy$ 的拉回。
3. 验证标准平面上$\star^2=-1$ 作用于 1-形式。
4. 计算穿孔平面标准 1-形式沿半径为$R$ 圆的积分，说明结果为何与$R$ 无关。

证明题

1. 证明拉回与外微分交换：$dF^*=F^*d$（先对 0-形式和 1-形式验证）。
2. 用伴随关系证明 Hodge 分解的三部分两两正交。
3. 证明紧致无边界连通流形上的调和函数是常数。
4. 证明调和 1-形式的维数是拓扑不变量，但具体调和代表依赖度量。

实现题

1. 从上一章的$B_1,B_2$ 构造$d_0,d_1$，数值验证$d_1d_0=0$。
2. 为三角网格组装对角质量矩阵$\star_0$ 和余切$\star_1$。
3. 输入随机边 1-形式，求其恰当投影，并检查残差与所有梯度正交。
4. 在离散环面上求$\ker\Delta_1$，验证其维数约为 2。

20. 本章结论

这一章把拓扑、微积分和线性代数连接起来：

$$\begin{array}{ccccc} \Omega^0 & \xrightarrow{d} & \Omega^1 & \xrightarrow{d} & \Omega^2\\ \downarrow && \downarrow && \downarrow\\ C^0 & \xrightarrow{B_1^T} & C^1 & \xrightarrow{B_2^T} & C^2 \end{array}$$

上排是连续微分形式，下排是离散上链；$d^2=0$ 在两层都严格成立。度量通过 Hodge 星进入，产生内积、伴随、Laplacian 和唯一调和代表。

下一篇将引入度量、联络、曲率与测地线，并从变分原理推导调和映射：曲面微分几何与调和映射。