本课只解决一个问题

咖啡杯和圆环为什么常被说成“拓扑相同”，而圆盘和圆环不同？

必须把“可以连续变形”改写成不会误判的定义。

1. 双射还不够

两个无限点集之间常能建立奇怪的一一对应，但这种对应可能把相邻点送得很远。拓扑等价需要同时满足：

1. 点一一对应；
2. 映射连续；
3. 逆映射也连续。

满足这些条件的$f:X\to Y$ 称为同胚，记作

$$X\cong Y.$$

2. 为什么逆映射也必须连续

只要求连续双射，在一般拓扑空间中可能把某些邻域压坏，逆过程无法连续恢复。逆也连续保证$X,Y$ 的邻近关系被双向完整保留。

在紧空间到 Hausdorff 空间等常见条件下，连续双射会自动是同胚，但初学时不要省略定义中的逆连续。

3. 区间的具体同胚

开区间$(-1,1)$ 与整条实数轴$\mathbb R$ 同胚。一个例子是

$$f(x)=\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right).$$

当$x$ 靠近$-1$ 或$1$ 时，输出分别趋向$-\infty$ 或$+\infty$。逆函数

$$f^{-1}(y)=\frac2\pi\arctan y$$

也连续。

两者长度观念完全不同，却有相同拓扑。

4. 不变量用于证明“不可能同胚”

若$X\cong Y$，任何拓扑不变量必须相同。常用不变量包括：

• 连通分支数；
• 删掉一个点后是否仍连通；
• 边界分支数；
• 可定向性；
• 基本群；
• 同调群和 Betti 数；
• Euler 示性数。

要证明两个空间不同，找到一个不变量不同即可；不需要列举所有可能映射。

5. 圆与线段为什么不同

从闭区间$[0,1]$ 删除内部点$1/2$，剩余空间分成两块：

$$[0,1/2)\cup(1/2,1].$$

从圆$S^1$ 删除任意一个点，剩余部分仍连通，并且同胚于开区间。

“删一点后是否断开”在同胚下保持，因此圆与线段不同胚。

6. 圆盘、圆柱、球面、环面

圆盘和球面都“没有把手”，但边界数量不同，所以不同胚。

7. 同胚、等距、共形的层级

flowchart LR
    I[等距: 保长度] --> C[共形: 保角度]
    C --> H[同胚: 保连续邻近]

通常：

$$\text{等距}\Longrightarrow\text{共形}\Longrightarrow\text{同胚},$$

反向一般不成立。橡皮膜拉伸通常仍同胚，却不保角；统一缩放保角，却不保长度。

8. 为什么参数化先检查拓扑

一个不切开的闭球面不可能与平面圆盘同胚，因为前者无边界、后者有边界。若算法要求圆盘型输入，就必须先：

1. 判断曲面拓扑类型；
2. 选择切缝；
3. 把曲面切成圆盘型；
4. 再求平面参数化。

这不是算法实现细节，而是连续映射存在性的限制。

9. 常见误区

1. 看起来相似不能证明同胚。
2. 允许撕开或粘合后，讨论的就不再是同胚。
3. 同胚不保持曲率；球面和立方体表面可同胚。
4. “单连通”和“连通”不是同一个概念，前者还要求闭路可缩。

10. 自测与答案

题 1。 椭圆边界与圆是否同胚？

答案。 是，可通过沿坐标轴连续缩放建立同胚。

题 2。 闭圆盘与开圆盘是否同胚？

答案。 否。闭圆盘是紧的，开圆盘不是；紧致性是拓扑不变量。

题 3。 统一缩放为何是共形但通常不是等距？

答案。 它保持角度，但把所有非零长度乘以同一个非一因子。

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