自动关联目录：代数拓扑：从曲面分类到同调算法

本章目标

拓扑研究连续形变下不变的性质。共形几何还会研究角度、度量和曲率，但在此之前必须先回答：曲面有几个连通分支？有没有边界？有多少个洞？一条闭曲线能不能缩成一点？

本章学完后，你应当能够：

1. 用图册的语言定义二维流形与带边界流形；
2. 用基本群区分圆盘、圆柱、球面和环面；
3. 从三角网格组装链复形$C_2\xrightarrow{\partial_2}C_1\xrightarrow{\partial_1}C_0$；
4. 计算 Betti 数$\beta_0,\beta_1,\beta_2$；
5. 用 Euler–Poincaré 公式检查网格拓扑；
6. 理解为什么高亏格曲面参数化前必须切出同调基或基本群生成元。

1. 拓扑空间与连续映射

1.1 为什么不能只依赖三维坐标

同一个抽象曲面可以有完全不同的三维形状。橡皮圆环可以被挤压、拉长，但只要不撕裂、不粘合，它仍然是一个环面。拓扑结构只记录“哪些点彼此邻近”，不记录边长和角度。

严格地说，一个拓扑空间是集合$X$ 加上一族开集$\mathcal T$，满足：

1. $\varnothing,X\in\mathcal T$；
2. 任意多个开集的并仍是开集；
3. 有限多个开集的交仍是开集。

连续映射$f:X\to Y$ 的定义是：$Y$ 中每个开集$U$ 的原像$f^{-1}(U)$ 在$X$ 中也是开集。

1.2 同胚与拓扑不变量

若连续双射$f:X\to Y$ 的逆映射也连续，则$f$ 是同胚，记为$X\cong Y$。同胚保持：

• 连通分支数；
• 边界分支数；
• 可定向性；
• 亏格；
• 基本群与同调群。

它不保持长度、面积、角度或曲率。因此：圆盘与任意单连通平面区域同胚，但一般不等距。

2. 流形、坐标图与图册

2.1 二维流形

一个 Hausdorff、第二可数的拓扑空间$M$ 称为二维拓扑流形，如果每个点$p\in M$ 都有邻域$U$ 与$\mathbb R^2$ 的一个开集$V$ 同胚：

$$\varphi:U\to V\subset\mathbb R^2.$$

$(U,\varphi)$ 称为坐标图，多个坐标图覆盖$M$ 就得到图册。

flowchart LR
    U[曲面上的邻域 U] -->|坐标图 phi| V[平面开集 V]
    W[另一邻域 W] -->|坐标图 psi| Z[平面开集 Z]
    V -->|过渡函数 psi o phi^-1| Z

若过渡函数$\psi\circ\varphi^{-1}$ 都是$C^\infty$，图册定义了光滑结构，$M$ 就是光滑流形。之后的切向量、微分形式和曲率都依赖这个光滑结构。

2.2 带边界流形

边界点的邻域不像完整圆盘，而像半平面

$$\mathbb H^2=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y\ge0\}.$$

能映到$y=0$ 的点组成$\partial M$。对三角网格：

• 内部边邻接两个三角形；
• 边界边只邻接一个三角形；
• 闭曲面没有边界边。

2.3 可定向性

若能连续地为整张曲面选择法向方向，曲面可定向。等价地，可以让所有三角形朝向一致：共享边在两个相邻面中的方向相反。

球面、环面可定向；Möbius 带和 Klein 瓶不可定向。本专题主要讨论紧致、连通、可定向曲面，因为复结构和黎曼面理论天然携带定向。

3. 商空间：从多边形制造曲面

把正方形相对边识别，可以构造圆柱或环面。商空间写成$X/{\sim}$，其中等价关系$\sim$ 指定哪些点被视为同一点。

环面可写成

$$T^2=\mathbb R^2/\Lambda, \qquad \Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2:m,n\in\mathbb Z\}.$$

这不仅是拓扑构造，也是之后“周期参数域”的来源：平面上的函数满足$f(z+\omega_i)=f(z)$，便可下降为环面上的函数。

4. 同伦与基本群

4.1 路径和闭路

路径是连续映射$\gamma:[0,1]\to M$。若$\gamma(0)=\gamma(1)=p$，它是以$p$ 为基点的闭路。

两条路径$\gamma_0,\gamma_1$ 同伦，是指存在连续映射

$$H:[0,1]\times[0,1]\to M$$

使$H(t,0)=\gamma_0(t)$、$H(t,1)=\gamma_1(t)$，并在端点固定的版本中保持$H(0,s)=H(1,s)=p$。

直觉上，同伦允许曲线在曲面上连续滑动，但不能跨过洞或离开曲面。

4.2 基本群

所有以$p$ 为基点的闭路同伦类组成基本群

$$\pi_1(M,p).$$

群运算是路径首尾拼接；单位元是常值路径；逆元是反向走原路径。

亏格$g$ 的闭可定向曲面有表示

$$\pi_1(M_g)= \left\langle a_1,b_1,\ldots,a_g,b_g \mid \prod_{i=1}^{g}[a_i,b_i]=e \right\rangle,$$

其中交换子$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$。环面的情形$g=1$ 给出$aba^{-1}b^{-1}=e$，即$ab=ba$。

4.3 单连通与切缝

若$M$ 路径连通且$\pi_1(M)=0$，称$M$ 单连通。平面参数化经常希望把曲面切成单连通域，因为：

• 闭 1-形式在单连通域上可积分为单值函数；
• 调和共轭不再受周期阻碍；
• 局部参数可以拼成全局参数。

高亏格曲面上沿$a_i,b_i$ 切开，会得到一个基本多边形。其边界词为

$$a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}.$$

5. 覆盖空间与通用覆盖

5.1 定义

映射$p:\widetilde M\to M$ 是覆盖映射，如果每个$x\in M$ 有邻域$U$，使得

$$p^{-1}(U)=\bigsqcup_{\alpha}U_\alpha,$$

且每个限制$p|_{U_\alpha}:U_\alpha\to U$ 都是同胚。

例子：

$$p:\mathbb R\to S^1,qquad p(t)=e^{2\pi it}.$$

实线是圆的通用覆盖。圆上的绕行一次在实线上变成从$t$ 到$t+1$ 的路径；闭路的绕数转化为覆盖空间中的端点差。

5.2 路径提升

给定$M$ 上路径$\gamma$ 和起点上方的一个点$\tilde p$，存在唯一提升路径$\tilde\gamma$ 满足

$$p\circ\tilde\gamma=\gamma, \qquad \tilde\gamma(0)=\tilde p.$$

闭路提升后是否仍闭合，编码了它的同伦类。通用覆盖$\widetilde M$单连通，其 deck transformation 群与$\pi_1(M)$ 同构。

这在共形几何中极其重要：

• 球面型曲面的通用覆盖是$S^2$；
• 平坦型曲面的通用覆盖是$\mathbb C$；
• 双曲型曲面的通用覆盖是单位圆盘$\mathbb D$。

这已经预示了一致化定理的三种标准几何。

6. 单纯复形：把曲面变成有限组合对象

6.1 单纯形

$k$-单纯形是$k+1$ 个仿射无关点的凸包：

• 0-单纯形：顶点；
• 1-单纯形：边；
• 2-单纯形：三角形；
• 3-单纯形：四面体。

单纯复形$K$ 是一组单纯形，满足：

1. 每个单纯形的所有面仍在$K$ 中；
2. 任意两个单纯形的交要么为空，要么是两者的共同面。

三角网格就是二维单纯复形的几何实现。

6.2 定向

有序顶点$[v_0,v_1,\ldots,v_k]$ 给出定向。交换两个顶点会反向：

$$[v_1,v_0]=-[v_0,v_1].$$

三角形$[i,j,k]$ 的边界是

$$\partial_2[i,j,k]=[j,k]-[i,k]+[i,j].$$

边的边界是

$$\partial_1[i,j]=[j]-[i].$$

直接计算可得

$$\partial_1\partial_2[i,j,k]=0.$$

这就是“边界的边界为空”。它不是口号，而是整个同调理论成立的代数条件。

7. 链群、循环、边界和同调群

7.1 链复形

取系数域$\mathbb R$ 或$\mathbb Z_2$。$C_k(K)$ 是所有定向$k$-单纯形的形式线性组合。边界算子组成

$$0\longrightarrow C_2 \xrightarrow{\partial_2}C_1 \xrightarrow{\partial_1}C_0 \longrightarrow0.$$

由于$\partial_{k-1}\partial_k=0$，有

$$\operatorname{im}\partial_{k+1} \subseteq \ker\partial_k.$$

定义：

$$Z_k=\ker\partial_k \quad\text{（循环）},$$

$$B_k=\operatorname{im}\partial_{k+1}\quad\text{（边界）}.$$

同调群是

$$H_k(K)=Z_k/B_k.$$

它把“闭合”但“不是更高维对象边界”的结构保留下来。

7.2 几何意义

• $H_0$：连通分支；
• $H_1$：独立的一维洞；
• $H_2$：封闭的二维壳。

取域系数时，Betti 数为

$$\beta_k=\dim H_k.$$

对紧致连通可定向曲面：

7.3 为什么同调比基本群容易计算

基本群通常非交换，而$H_1$ 是其交换化：

$$H_1(M;\mathbb Z)\cong \pi_1(M)_{ab}.$$

同调只需线性代数：构造边界矩阵并求秩或零空间。代价是它忘掉了闭路的非交换拼接顺序。

8. 边界矩阵与 Betti 数算法

给定顶点、边、面编号，矩阵$B_1$ 表示$\partial_1:C_1\to C_0$，矩阵$B_2$ 表示$\partial_2:C_2\to C_1$。

对边$e=[i,j]$，$B_1$ 的对应列在行$i$ 为$-1$、行$j$ 为$+1$。对面$f=[i,j,k]$，$B_2$ 的对应列包含其三条有向边的系数。

维数公式给出

$$\beta_k=\dim\ker B_k-\operatorname{rank}B_{k+1}.$$

所以二维复形满足

$$\begin{aligned} \beta_0&=V-\operatorname{rank}B_1,\\ \beta_1&=E-\operatorname{rank}B_1-\operatorname{rank}B_2,\\ \beta_2&=F-\operatorname{rank}B_2. \end{aligned}$$

8.1 一个单三角形

顶点$(0,1,2)$，边按$e_0=[0,1],e_1=[1,2],e_2=[0,2]$ 定向，面$f=[0,1,2]$。则

$$B_1= \begin{bmatrix} -1&0&-1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \end{bmatrix}, \qquad B_2= \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix}.$$

检查：

$$B_1B_2=0.$$

$\operatorname{rank}B_1=2$，$\operatorname{rank}B_2=1$，所以

$$(\beta_0,\beta_1,\beta_2)=(1,0,0),$$

与圆盘一致。

8.2 Python 组装

import numpy as np
from scipy.sparse import coo_matrix


def oriented_edges(faces):
    edge_set = set()
    for i, j, k in faces:
        edge_set.update({tuple(sorted((i, j))),
                         tuple(sorted((j, k))),
                         tuple(sorted((k, i)))})
    edges = sorted(edge_set)
    return edges, {edge: idx for idx, edge in enumerate(edges)}


def boundary_matrices(vertex_count, faces):
    edges, edge_id = oriented_edges(faces)

    # B1: C1 -> C0，每条全局边按小编号到大编号定向。
    rows1, cols1, vals1 = [], [], []
    for col, (i, j) in enumerate(edges):
        rows1 += [i, j]
        cols1 += [col, col]
        vals1 += [-1.0, 1.0]
    B1 = coo_matrix(
        (vals1, (rows1, cols1)),
        shape=(vertex_count, len(edges)),
    ).tocsr()

    # B2: C2 -> C1。局部边 [i,j],[j,k],[k,i] 与全局方向比较符号。
    rows2, cols2, vals2 = [], [], []
    for face_id, (i, j, k) in enumerate(faces):
        for a, b in [(i, j), (j, k), (k, i)]:
            edge = tuple(sorted((a, b)))
            sign = 1.0 if (a, b) == edge else -1.0
            rows2.append(edge_id[edge])
            cols2.append(face_id)
            vals2.append(sign)
    B2 = coo_matrix(
        (vals2, (rows2, cols2)),
        shape=(len(edges), len(faces)),
    ).tocsr()
    return edges, B1, B2


def betti_numbers(vertex_count, faces, tol=1e-10):
    edges, B1, B2 = boundary_matrices(vertex_count, faces)
    rank1 = np.linalg.matrix_rank(B1.toarray(), tol=tol)
    rank2 = np.linalg.matrix_rank(B2.toarray(), tol=tol)
    return (
        vertex_count - rank1,
        len(edges) - rank1 - rank2,
        len(faces) - rank2,
    )

这段实现为了教学把稀疏矩阵转为稠密矩阵求秩，只适用于小网格。大网格通常使用：

• $\mathbb Z_2$ 上的稀疏消元；
• Smith normal form（整数同调与挠元）；
• persistent homology 的列约化；
• tree-cotree decomposition 构造曲面同调基。

9. Euler–Poincaré 公式

链复形的交错维数等于同调群的交错维数：

$$\chi(K)=V-E+F=\beta_0-\beta_1+\beta_2.$$

9.1 证明思路

由秩-零化度定理

$$\dim C_k=\dim\ker\partial_k+\dim\operatorname{im}\partial_k.$$

而

$$\beta_k =\dim\ker\partial_k-\dim\operatorname{im}\partial_{k+1}.$$

对$k$ 交错求和，中间的像空间维数两两抵消，剩下

$$\sum_k(-1)^k\dim C_k =\sum_k(-1)^k\beta_k.$$

9.2 曲面分类公式

紧致、连通、可定向、亏格为$g$、边界分支数为$b$ 的曲面满足

$$\chi=2-2g-b.$$

所以已知网格$V,E,F$ 和边界分支数$b$，可解出

$$g=\frac{2-b-(V-E+F)}{2}.$$

若右边不是非负整数，通常说明：

• 网格非流形；
• 面朝向或边计数错误；
• 有多个连通分支但仍套用了连通公式；
• 存在未清理的退化面或重复面。

10. 上同调：为什么要研究“沿边积分的量”

同调研究链；上同调研究作用在链上的线性函数。$k$-上链属于

$$C^k=\operatorname{Hom}(C_k,\mathbb R).$$

余边界算子$\delta:C^k\to C^{k+1}$ 是边界算子的对偶：

$$(\delta\omega)(c)=\omega(\partial c).$$

在矩阵表示下，如果$B_{k+1}$ 表示$\partial_{k+1}$，则普通内积下$\delta$ 由$B_{k+1}^T$ 表示。

一个离散 1-形式给每条有向边赋值$\omega_{ij}=-\omega_{ji}$。它可以表示：

• 标量函数的差分$f_j-f_i$；
• 速度场沿边的线积分；
• 纹理坐标增量；
• 环面参数域的周期。

若每个三角形边界上的和为 0，形式闭合：

$$\omega_{ij}+\omega_{jk}+\omega_{ki}=0.$$

若存在顶点函数$f$ 使$\omega_{ij}=f_j-f_i$，形式恰当。恰当一定闭合，但在有洞的曲面上闭合不一定恰当。商空间

$$H^1=\ker\delta_1/\operatorname{im}\delta_0$$

正是“无法写成全局势函数梯度”的周期信息。

11. 与参数化算法的直接关系

11.1 圆盘

$H^1(D^2)=0$。任何闭 1-形式都是恰当的，可以积分得到单值函数。这使调和共轭和全局参数相对直接。

11.2 环面

$\dim H^1(T^2)=2$。存在两条独立周期。一个闭 1-形式沿基本循环的积分可能非零，因此积分会在通用覆盖$\mathbb R^2$ 上成为单值函数，但回到环面时只在模周期意义下单值。

11.3 高亏格曲面

亏格$g$ 的闭可定向曲面有

$$\dim H^1=2g.$$

这解释了为什么需要$2g$ 个调和 1-形式来构造全纯微分基，也解释了为什么高亏格参数化天然带有周期矩阵。

12. 网格拓扑预检代码

from collections import Counter, defaultdict, deque


def topology_report(vertex_count, faces):
    edge_count = Counter()
    adjacency = defaultdict(set)

    for i, j, k in faces:
        for a, b in [(i, j), (j, k), (k, i)]:
            edge = tuple(sorted((a, b)))
            edge_count[edge] += 1
            adjacency[a].add(b)
            adjacency[b].add(a)

    boundary_edges = [e for e, count in edge_count.items() if count == 1]
    non_manifold_edges = [e for e, count in edge_count.items() if count > 2]

    visited = set()
    components = 0
    for start in range(vertex_count):
        if start in visited:
            continue
        components += 1
        queue = deque([start])
        visited.add(start)
        while queue:
            i = queue.popleft()
            for j in adjacency[i]:
                if j not in visited:
                    visited.add(j)
                    queue.append(j)

    V, E, F = vertex_count, len(edge_count), len(faces)
    return {
        "V": V,
        "E": E,
        "F": F,
        "euler_characteristic": V - E + F,
        "connected_components": components,
        "boundary_edge_count": len(boundary_edges),
        "non_manifold_edges": non_manifold_edges,
    }

注意：只数边界边不能得到边界分支数$b$。还要在边界子图上追踪连通环，并验证每个边界顶点的边界度为 2。

13. 定理、算法与假设的对应

14. 习题

计算题

1. 用一个正方形加对角线构成圆盘网格，手写$B_1,B_2$ 并验证$B_1B_2=0$。
2. 对四面体表面计算$V-E+F$ 和$(\beta_0,\beta_1,\beta_2)$。
3. 一个连通可定向网格有$V=120,E=360,F=238$，无边界。求亏格。
4. 同一网格若有$b=2$，检查这些数字是否可能对应流形。

证明题

1. 证明同伦是路径集合上的等价关系。
2. 用秩-零化度定理证明 Euler–Poincaré 公式。
3. 解释为什么恰当 1-形式必然闭合，即$d(df)=0$。
4. 证明树中的任意两个顶点之间只有一条简单路径，并说明这为何可用于选取切缝。

实现题

1. 实现边界环提取，输出每条边界的顶点顺序。
2. 在$\mathbb Z_2$ 上实现高斯消元，计算小网格的 Betti 数。
3. 构造一个环面三角网格，验证$(\beta_0,\beta_1,\beta_2)=(1,2,1)$。
4. 故意删除一个三角形，观察$b,\chi,\beta_k$ 如何变化。

15. 本章结论

这一章建立了后续计算共形几何的骨架：

$$\text{曲面} \xrightarrow{\text{三角剖分}} \text{链复形} \xrightarrow{\partial} \text{同调/上同调} \xrightarrow{\text{选基}} \text{切缝、周期与全局参数}.$$

下一篇将把链与上链升级为微分形式，并证明 Hodge 分解如何从每个上同调类中选出唯一的调和代表：微分拓扑与 Hodge 分解。