本页只解决一个问题

怎样保持三角形合法并跨越三角剖分变化？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

• 模块前置入口：先修页面
• 本页所属模块：离散 Ricci 流与双曲结构
• 集中复习版：原长篇参考讲义

8. line search 与合法性

Newton 全步可能造成：

• 三角不等式失效；
• 能量上升；
• 曲率残差增大；
• 需要 Delaunay flip 却未执行。

回溯线搜索：从$s=1$ 开始反复减半，直到

1. 所有三角形合法；
2. 能量满足 Armijo 下降；
3. 若使用动态 triangulation，完成必要翻边后重新评估。

停止条件应同时看

$$\|K(u)-\bar K\|_\infty<\varepsilon_K$$

和线性求解残差。

9. Intrinsic Delaunay triangulation

内部边$(i,j)$ 两侧对角$\alpha,\beta$ 满足 intrinsic Delaunay 条件

$$\alpha+\beta\le\pi.$$

等价于

$$\cot\alpha+cot\beta\ge0.$$

所以 Delaunay 三角剖分保证余切边权非负。度量改变时 Delaunay 条件可能被破坏，需要 flip 对角线。

9.1 Ptolemy 更新

对共圆四边形边长$a,b,c,d$ 和对角线$e,f$：

$$ef=ac+bd.$$

离散共形 flip 可用 Ptolemy 关系更新新对角线，保持离散共形结构的一致性。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

前后课程

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