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保角怎样分别写成矩阵、Jacobian 和度量拉回条件？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设可逆线性映射 $A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ 。它保持任意向量夹角，当且仅当存在 $\lambda>0$ 和正交矩阵 $R$ 使

A=\lambda R.

若还保持方向，则 $R\in SO(2)$ 是旋转。

设 $e_1,e_2$ 为标准正交基。保角给出 $Ae_1\perp Ae_2$ 。还需证明两者长度相等。考虑 $e_1+e_2$ 与 $e_1-e_2$ ，它们也正交，所以

0=\langle A(e_1+e_2),A(e_1-e_2)\rangle =\|Ae_1\|^2-\|Ae_2\|^2.

因此 $\|Ae_1\|=\|Ae_2\|=\lambda$ ，于是 $A^TA=\lambda^2I$ 。

A=U\begin{bmatrix}\sigma_1&0\\0&\sigma_2\end{bmatrix}V^T.

单位圆被映成半轴为 $\sigma_1,\sigma_2$ 的椭圆。共形当且仅当

\sigma_1=\sigma_2.

条件数/最大伸缩比

K(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\ge1

是最直接的离散共形畸变。

对光滑映射 $f:\Omega\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ ，在点 $p$ 附近

f(p+h)=f(p)+J_f(p)h+o(\|h\|).

因此 $f$ 在 $p$ 保持有向角度，当且仅当

J_f(p)^TJ_f(p)=\lambda(p)^2I, \qquad \det J_f(p)>0.

局部面积缩放为

\det J_f=\lambda^2.

注意： $\lambda$ 可随位置变化，所以共形映射一般不保持长度和面积。

设 $(M,g)$ 、 $(N,h)$ 是黎曼曲面， $f:M\to N$ 光滑。拉回度量定义为

(f^*h)_p(X,Y)=h_{f(p)}(df_pX,df_pY).

$f$ 共形，当存在正函数 $\lambda:M\to\mathbb R_+$ 使

\boxed{f^*h=\lambda^2g.}

于是

\cos\angle(dfX,dfY) =\frac{\lambda^2g(X,Y)} {\lambda\|X\|_g\lambda\|Y\|_g} =\cos\angle(X,Y).

这一定义与坐标选择无关。

除特殊情况外，不可能同时要求全局等距、共形、保面积和无切缝。