CCG C07：Teichmüller 空间与映射类群
模块定位
核心问题：同一拓扑曲面上所有共形结构怎样组成一个有限维空间？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- 模块 07 黎曼面
- 模块 08 双曲结构
- 拟共形映射
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| C07-01 | 标记黎曼面 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-02 | Teichmüller 等价 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-03 | 模空间 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-04 | Beltrami 微分 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-05 | 全纯二次微分 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-06 | Teichmüller 映射 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-07 | Teichmüller 距离 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-08 | Fenchel-Nielsen 坐标 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-09 | pants decomposition | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-10 | 映射类群 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-11 | Dehn twist | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-12 | Weil-Petersson 几何 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| C07-13 | 离散共形类 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 可测 Riemann 映射定理
- Teichmüller 极值映射存在唯一性
- Teichmüller 空间维数
- 映射类群对 Teichmüller 空间的作用
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 区分共形结构空间与单个参数化
- 用长度-扭转坐标描述高亏格曲面
- 理解曲面配准中的极值拟共形问题
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/teichmuller-mapping-class/
更新于：2026年10月12日