本课只解决一个问题

“局部保角”中的“局部”怎样变成可计算的数学条件？

答案是导数：把一个弯曲、非线性的函数在很小邻域内近似成线性函数。

1. 平均变化率

函数$y=f(x)$ 从$x$ 走到$x+h$，输出变化

$$\Delta y=f(x+h)-f(x).$$

输入变化是$h$，平均变化率为

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

这就是图像上两点间割线的斜率。

2. 让观察尺度趋近于零

若当$h\to0$ 时平均变化率趋向一个确定值，就定义

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

注意不能直接先令$h=0$，因为分母会为零。极限问的是：$h$ 虽不等于零，但越来越小时，比值趋向哪里。

3. 从定义推导$x^2$ 的导数

设$f(x)=x^2$：

$$\begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(2x+h)\\ &=2x. \end{aligned}$$

在$x=3$ 处，导数为$6$：输入增加很小的$0.01$，输出大约增加$6\times0.01=0.06$。

4. 导数最重要的身份：最佳线性近似

当$h$ 很小时，

$$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h.$$

更精确地写：

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h),$$

其中$o(h)$ 表示相对于$h$ 更快趋近零的误差。

对$f(x)=x^2$、$x=3$、$h=0.01$：

$$f(3.01)\approx9+6\times0.01=9.06,$$

真实值$9.0601$，误差$0.0001=h^2$。

5. 几何上的切线

曲线$y=f(x)$ 在点$(x,f(x))$ 的切线方向为

$$(1,f'(x)).$$

因为输入走$h$ 时，输出一阶近似走$f'(x)h$，位移约为

$$h(1,f'(x)).$$

切线不是“碰一下曲线的直线”这种图形描述，而是曲线的一阶局部模型。

6. 链式法则：复合变化率相乘

若$y=f(x)$，$z=g(y)$，那么

$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx},$$

即

$$(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).$$

例：$f(x)=x^2$，$g(y)=\sin y$：

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2)=\cos(x^2)\cdot2x.$$

以后坐标变换的 Jacobian 相乘，就是多维链式法则。

7. 曲线的速度向量

平面曲线写成

$$\gamma(t)=(x(t),y(t)).$$

逐分量求导：

$$\gamma'(t)=(x'(t),y'(t)).$$

它是曲线的速度，也是切向量。单位圆

$$\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$$

的速度为

$$\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).$$

内积$\gamma(t)\cdot\gamma'(t)=0$，说明半径与切线垂直。

8. 导数与最小值

若光滑函数在内部点$x_*$ 取得局部最小值，则通常有

$$f'(x_*)=0.$$

因为若斜率为正，往左走会下降；若斜率为负，往右走会下降。

但$f'(x_*)=0$ 只是必要条件，不一定是最小值。例如$f(x)=x^3$ 在$0$ 处导数为零，却不是极小值。

9. 常见误区

1. 导数不是两个无穷小量真的相除，而是差商的极限。
2. 可导蕴含连续，但连续不一定可导，如$|x|$ 在零点。
3. $f'(x)=0$ 不自动说明最小值。
4. “局部线性”不表示函数在有限范围内真的是直线。

10. 自测与答案

题 1。 从定义计算$f(x)=3x+2$ 的导数。

答案。 差商为$[3(x+h)+2-(3x+2)]/h=3$，故$f'(x)=3$。

题 2。 用线性近似估计$\sqrt{4.04}$。

答案。$f(x)=\sqrt x$，$f'(4)=1/4$，所以$f(4.04)\approx2+(1/4)0.04=2.01$。

题 3。 单位圆曲线速度的长度是多少？

答案。$\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1$。

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