CCG T03：计算拓扑、持续同调与组合映射
模块定位
核心问题：怎样从带噪点云和网格稳定地恢复洞、把手、隧道与切割图？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- 模块 01 曲面拓扑
- F02 线性代数
- 半边数据结构
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| T03-01 | CW 分解 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-02 | 基本多边形 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-03 | 生成树与对偶树 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-04 | cut graph | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-05 | 最短非收缩环 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-06 | 同调基与共调基 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-07 | 过滤复形 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-08 | Vietoris-Rips 与 Čech 复形 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-09 | 持续模块 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-10 | barcode 与 persistence diagram | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-11 | 矩阵约化算法 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-12 | 稳定性定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-13 | Reeb 图 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-14 | combinatorial map | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| T03-15 | handle 与 tunnel loops | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 曲面基本群表示
- 持续同调结构定理
- 瓶颈距离稳定性
- Poincaré 对偶
- 离散 Morse 理论基础
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 从网格计算 cut graph
- 从点云生成 persistence barcode
- 提取把手环和隧道环
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/computational-topology/
更新于：2026年10月12日