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测地代价、参数域计算和面积密度修正怎样配合？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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本页所属模块：最优输运与几何深度学习
集中复习版：原长篇参考讲义

11. 曲面上的代价

对曲面数据，代价选择决定匹配的几何含义：

代价	优点	问题
三维欧氏距离	易算	会穿过薄壳，忽略曲面内在结构
曲面测地距离	内在	全对全计算昂贵
heat/geodesic 近似	可扩展	有离散与时间尺度误差
共形参数域距离	可转成标准域问题	受共形尺度和 Möbius 归一化影响
谱嵌入距离	对噪声可稳定	截断和重特征值导致不唯一

12. 共形几何与最优输运如何配合

它们解决不同畸变：

共形映射消除复杂拓扑/几何域，保局部角度；
最优输运在公共域中匹配面积或概率质量。

一个典型流程：

flowchart LR
    M[曲面 M] -->|一致化| DM[标准域 D_M]
    N[曲面 N] -->|一致化| DN[标准域 D_N]
    DM -->|Möbius/标记点归一化| D[公共标准域]
    DN -->|Möbius/标记点归一化| D
    D -->|最优输运匹配密度| T[质量保持映射]
    T -->|拉回| F[M 到 N 的配准]

仅做共形映射会有面积畸变；追加 OT 可校正密度，但组合后通常不再共形。这是多目标取舍，不是“同时完美”。

读完必须能回答

不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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