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参数化何时真正描述一块光滑曲面，换坐标时哪些量会改变？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设 $D\subset\mathbb R^2$ 为开集，映射

r:D\to\mathbb R^3, \qquad r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

称为正则曲面片，如果：

$r_u,r_v$ 张成切平面

T_pr(M)=\operatorname{span}\{r_u,r_v\}.

单位法向量为

n=\frac{r_u\times r_v}{\|r_u\times r_v\|}.

若 $r_u\times r_v=0$ ，坐标在该点退化。球坐标在极点退化并不说明球面不光滑，只说明这一张坐标图不能覆盖极点。

设新坐标 $(\bar u,\bar v)$ 通过

(u,v)=\sigma(\bar u,\bar v)

给出，且 $\det J_\sigma\ne0$ 。新参数化为

\bar r(\bar u,\bar v)=r(\sigma(\bar u,\bar v)).

链式法则给出

\begin{bmatrix}\bar r_{\bar u}&\bar r_{\bar v}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_u&r_v\end{bmatrix}J_\sigma.

坐标分量会变化，但几何量若按正确张量变换律变化，就描述同一个内在对象。