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调和映射何时共形，算法中怎样测 Beltrami 与奇异值畸变？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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14. 调和映射与共形映射

设$f:M\to N$ 是定向曲面间映射。在局部复坐标中能量密度分解为

$$e(f)\propto |f_z|^2+|f_{\bar z}|^2,$$

面积密度为

$$J(f)\propto |f_z|^2-|f_{\bar z}|^2.$$

两者之差：

$$E(f)-\operatorname{Area}(f) \propto\int_M|f_{\bar z}|^2dA\ge0.$$

因此共形映射使反全纯部分消失，并达到能量-面积下界。

但要注意：

• 调和不自动推出共形；
• 从二维域到平面的调和映射若满足额外条件才共形；
• 调和映射依赖边界条件和同伦类；
• 分支点处导数可能为 0。

15. 拟共形映射

$K$-拟共形映射允许有界角度畸变：

$$\|Df\|^2\le KJ_f$$

（不同文献的范数与$K$ 约定略有区别），等价于

$$\|\mu\|_\infty\le k<1, \qquad K=\frac{1+k}{1-k}.$$

拟共形理论对计算特别重要，因为完全共形通常受边界、拓扑和离散误差限制，而$\mu$ 是一个可优化、可插值、可组合的畸变量。

15.1 Beltrami 系数的复合律

若$f,g$ 可微且方向保持，复合$g\circ f$ 的 Beltrami 系数满足一个分式线性组合。重要结论是：拟共形映射在复合和求逆下封闭；但畸变会累积。

16. 数值算法的三条路线

它们并非彼此独立：调和映射从能量出发，Cauchy–Riemann 从复结构出发，曲率流从共形度量出发，最终都在构造同一个共形结构的不同表示。

17. Python：Jacobian、Beltrami 与奇异值

import numpy as np


def distortion_from_jacobian(J):
    """返回面积 Jacobian、奇异值比 K 和 |mu|。"""
    J = np.asarray(J, dtype=float).reshape(2, 2)
    det = np.linalg.det(J)
    sigma = np.linalg.svd(J, compute_uv=False)
    K = np.inf if sigma[1] == 0 else sigma[0] / sigma[1]
    mu_abs = 1.0 if np.isinf(K) else (K - 1.0) / (K + 1.0)
    return det, K, mu_abs


tests = {
    "similarity": [[0.0, -2.0], [2.0, 0.0]],
    "anisotropic": [[3.0, 0.0], [0.0, 1.0]],
    "shear": [[1.0, 0.7], [0.0, 1.0]],
    "flip": [[-1.0, 0.0], [0.0, 1.0]],
}

for name, J in tests.items():
    det, K, mu_abs = distortion_from_jacobian(J)
    print(name, "det=", det, "K=", K, "|mu|=", mu_abs)

只看$K$ 无法检测翻转，因为反射的两个奇异值也相等。必须同时检查$\det J>0$。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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