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从搬运映射到联合分布，松弛为什么让问题变成凸优化？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设源空间 $X$ 上有概率测度 $\mu$ ，目标空间 $Y$ 上有概率测度 $\nu$ 。代价函数

c:X\times Y\to\mathbb R

表示把单位质量从 $x$ 移到 $y$ 的成本。

传统点云最近邻只关心局部距离，不保证目标每个区域接收到正确质量。最优输运要求整体质量守恒。

寻找映射 $T:X\to Y$ ，使推前测度

T_\#\mu=\nu,

并最小化

\boxed{ \inf_{T_\#\mu=\nu} \int_Xc(x,T(x)),d\mu(x). }

推前定义为

(T_\#\mu)(B)=\mu(T^{-1}(B)).

若有密度且 $T$ 可微可逆，质量守恒写成 change-of-variables：

\rho_\mu(x) =\rho_\nu(T(x))|\det DT(x)|.

用联合测度/输运计划 $\pi$ 代替确定映射。 $\pi(A\times B)$ 表示从 $A$ 运到 $B$ 的质量。要求边缘分布：

(P_X)_\#\pi=\mu, \qquad (P_Y)_\#\pi=\nu.

问题：

\boxed{ \inf_{\pi\in\Pi(\mu,\nu)} \int_{X\times Y}c(x,y),d\pi(x,y). }

$\Pi(\mu,\nu)$ 是凸集，目标对 $\pi$ 线性，因此这是凸优化。