本课只解决一个问题

数学上怎样精确表达“把两条边粘起来”？

答案是先声明哪些点视为同一点，再把等价的点合并。这个过程叫取商。

1. 等价关系

集合$X$ 上的关系$\sim$ 若满足：

1. 自反：$x\sim x$；
2. 对称：$x\sim y\Rightarrow y\sim x$；
3. 传递：$x\sim y,y\sim z\Rightarrow x\sim z$；

则称为等价关系。

与$x$ 等价的所有点组成等价类

$$[x]=\{y\in X:y\sim x\}.$$

2. 商集合与商映射

所有等价类组成

$$X/{\sim}=\{[x]:x\in X\},$$

称为商集合。自然映射

$$q:X\to X/{\sim},\qquad q(x)=[x]$$

把每个点送到其等价类。

若$X$ 是拓扑空间，规定$U\subset X/{\sim}$ 开当且仅当$q^{-1}(U)$ 在$X$ 中开，就得到商拓扑。

3. 区间粘成圆

取闭区间$[0,1]$，规定

$$0\sim1,$$

其余点只与自身等价。端点被合并后，商空间$[0,1]/(0\sim1)$ 同胚于圆$S^1$。

可以用映射

$$t\mapsto e^{2\pi it}$$

看出：$t=0$ 与$t=1$ 都映到$1$，中间点依次绕圆一周。

4. 正方形粘成圆柱和环面

取单位正方形$[0,1]^2$。

只粘左右边：

$$(0,y)\sim(1,y),$$

得到圆柱侧面，仍保留上下两条边界。

再粘上下边：

$$(x,0)\sim(x,1),$$

得到环面。此时四个角都属于同一个等价类。

flowchart LR
    S[正方形] -->|粘左右边| C[圆柱]
    C -->|再粘上下边| T[环面]

5. 箭头方向决定曲面类型

若矩形左右边同向粘合，得到圆柱；若反向粘合，得到 Möbius 带。

因此多边形表示法常在边上画箭头。相同字母表示要粘的边，箭头表示参数方向如何对应。

环面常记为边字

$$aba^{-1}b^{-1},$$

它记录按边界走一圈时遇到的有向边顺序。

6. 基本多边形不是把曲面物理剪平

环面的基本多边形是一个带粘合规则的平面表示。它不声称真实环面能无拉伸地摊成正方形。

必须同时保存：

1. 多边形内部；
2. 哪些边互相对应；
3. 对应方向；
4. 顶点等价类。

丢掉粘合信息，只剩一块有边界的圆盘，拓扑已经改变。

7. 与网格切割的关系

高亏格网格常沿一组闭路切开，得到一个基本多边形。切割后某些顶点和边会复制，但副本之间必须记录配对关系。

参数化在多边形上求解后，再按配对关系理解为原曲面上的周期坐标。周期矩阵、Abel 微分和环面纹理都建立在这一步上。

8. 常见误区

1. 粘合不是简单把坐标值设成相等，还要定义商拓扑。
2. 边的匹配方向不能忽略；它可能改变可定向性。
3. 基本多边形有边界，粘合后的闭曲面没有边界。
4. 切开产生的多个顶点副本，在原曲面中可能仍是同一个顶点。

9. 自测与答案

题 1。 把正方形左右边粘合后有几个边界分支？

答案。 两个，即原正方形的上边和下边，分别闭合成圆。

题 2。 环面基本多边形的四个角粘合后对应几个点？

答案。 一个点。

题 3。 为什么只画一个正方形不足以表示环面？

答案。 还必须给出对边配对及方向；没有这些数据它只是圆盘型区域。

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