CCG F03：实分析、多元微积分与 PDE 基础
模块定位
核心问题：极限、导数、积分、弱导数和偏微分方程怎样形成同一分析框架？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F01 证明语言
- F02 线性代数
- 模块 00-07 至 00-09
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| F03-01 | 数列与函数极限 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-02 | 连续与一致连续 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-03 | 微分与 Taylor 展开 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-04 | 多元可微与逆函数定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-05 | 隐函数定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-06 | Riemann 与 Lebesgue 积分直觉 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-07 | 测度与几乎处处 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-08 | L1、L2 与 Sobolev 空间 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-09 | 弱导数与分部积分 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-10 | 椭圆、抛物、双曲 PDE | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-11 | 边界条件 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F03-12 | 弱解与变分形式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 中值定理与 Taylor 定理
- 逆函数和隐函数定理
- Fubini 与换元公式
- Green 恒等式
- Lax-Milgram 定理的使用边界
- 最大值原理
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 读懂调和方程的弱形式
- 区分 Dirichlet、Neumann 与混合边界
- 解释 FEM 为什么从能量而不是逐点 PDE 出发
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/analysis-calculus-pde/
更新于：2026年10月12日