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怎样把曲面上的瞬时运动定义为与坐标无关的向量？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

设 $M$ 是光滑曲面， $p\in M$ 。所有经过 $p$ 的光滑曲线 $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ 满足 $\gamma(0)=p$ 。

在一个坐标图 $(U,\varphi)$ 中，如果两条曲线满足

\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\varphi\circ\gamma_1)(t) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(\varphi\circ\gamma_2)(t),

则认为它们在 $p$ 定义同一个切向量。所有切向量构成二维向量空间 $T_pM$ 。

在局部坐标 $(u^1,u^2)$ 中，基向量写成

\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}, \frac{\partial}{\partial u^2}\right\},

任意切向量为

X=X^1\frac{\partial}{\partial u^1} +X^2\frac{\partial}{\partial u^2}.

切向量也可视为作用在光滑函数上的导子：

X:C^\infty(M)\to\mathbb R,

满足线性性和 Leibniz 法则

X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g).

曲线 $\gamma$ 对应的导子是

X(f)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0}f(\gamma(t)).

这个定义不需要把曲面嵌入 $\mathbb R^3$ ，因此是真正内在的。