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circle packing 和 vertex scaling 怎样把曲率处方变成顶点变量演化？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

给定三角网格和初始内在边长 $l_{ij}^0$ ，寻找离散共形因子 $u_i$ ，产生新边长 $l_{ij}(u)$ ，使

K_i(u)=\bar K_i.

目标曲率必须满足：

\sum_{i\in V^\circ}\bar K_i +\sum_{i\in\partial V}\bar k_i =2\pi\chi(M).

此外还存在局部可实现性不等式；只满足总和通常不够。

给每个顶点圆半径 $r_i=e^{u_i}$ 。在欧氏背景中，一种常见边长模型：

l_{ij}^2 =r_i^2+r_j^2+2r_ir_j\cos\Phi_{ij},

其中 $\Phi_{ij}$ 是交角。相切圆对应 $\Phi_{ij}=0$ ，于是 $l_{ij}=r_i+r_j$ 。

以已有边长为基准：

\boxed{l_{ij}(u)=e^{(u_i+u_j)/2}l_{ij}^0.}

它是连续共形缩放的离散对应。每个三角形角度由新边长通过余弦定理计算。

固定 triangulation 时，某些 $u$ 会使三角不等式失效。现代离散共形理论通常允许执行 intrinsic Delaunay flip，使算法跨越不同三角剖分单元。

最直接的 ODE：

\boxed{ \frac{du_i}{dt}=\bar K_i-K_i(u). }

显式 Euler：

u_i^{(n+1)} =u_i^{(n)}+\Delta t(\bar K_i-K_i(u^{(n)})).

它直观但步长受稳定性限制。更快方法利用变分能量和 Hessian 做 Newton 迭代。