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连续曲面公式怎样落到三角网格和数值代码？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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本页所属模块：曲面微分几何
集中复习版：原长篇参考讲义

17. 离散对应

连续对象	三角网格对象
黎曼度量 $g$	每条边长 $l_{ij}$ （满足三角不等式）
面积 $dA$	三角形面积或顶点 dual area
高斯曲率 $K,dA$	角度亏损 $2\pi-\sum\theta$
Laplace–Beltrami	余切 stiffness matrix + mass matrix
Dirichlet 能量	$\frac12\sum w_{ij}(f_i-f_j)^2$
调和映射	固定边界后解稀疏线性/非线性系统
共形因子 $u$	顶点尺度因子 $u_i$

内部顶点的离散曲率：

K_i=2\pi-\sum_{t\ni i}\theta_i^t.

边界顶点：

K_i=\pi-\sum_{t\ni i}\theta_i^t.

求和立即得到离散 Gauss–Bonnet：

\sum_iK_i=2\pi\chi(M).

18. Python：由参数化计算基本形式和曲率

下面用 SymPy 验证球面的 $g,K,H$ 。

import sympy as sp

theta, phi, R = sp.symbols("theta phi R", positive=True)
r = sp.Matrix([
    R * sp.sin(theta) * sp.cos(phi),
    R * sp.sin(theta) * sp.sin(phi),
    R * sp.cos(theta),
])

ru = r.diff(theta)
rv = r.diff(phi)
n = sp.simplify(ru.cross(rv) / sp.sqrt(ru.cross(rv).dot(ru.cross(rv))))

I = sp.Matrix([
    [sp.simplify(ru.dot(ru)), sp.simplify(ru.dot(rv))],
    [sp.simplify(rv.dot(ru)), sp.simplify(rv.dot(rv))],
])
II = sp.Matrix([
    [sp.simplify(r.diff(theta, 2).dot(n)),
     sp.simplify(r.diff(theta, phi).dot(n))],
    [sp.simplify(r.diff(phi, theta).dot(n)),
     sp.simplify(r.diff(phi, 2).dot(n))],
])

shape = sp.simplify(I.inv() * II)
K = sp.simplify(shape.det())
H = sp.simplify(sp.trace(shape) / 2)

print("I =", I)
print("II =", II)
print("K =", K)   # 取决于法向约定，但应为 1/R**2
print("H =", H)   # 符号取决于法向，绝对值为 1/R

读完必须能回答

不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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