本课只解决一个问题

怎样只用数字计算方向、长度、夹角、投影和三角形面积？

这些量以后会分别变成切向量、度量、共形条件和网格面积。

1. 点和向量不是同一种对象

点表示位置，向量表示位移。若

$$p=(1,2),\qquad q=(4,6),$$

那么从$p$ 指向$q$ 的向量是

$$v=q-p=(3,4).$$

把向量加到点上得到新点：$p+v=q$。两个点相加通常没有天然几何意义，但两个位移可以相加。

2. 向量加法与数乘

设$a=(a_1,a_2)$、$b=(b_1,b_2)$：

$$a+b=(a_1+b_1,a_2+b_2),$$

$$\lambda a=(\lambda a_1,\lambda a_2).$$

$\lambda>1$ 拉长，$0<\lambda<1$ 缩短，$\lambda<0$ 还会反向。

线段上从$p$ 到$q$ 的点可以写成

$$(1-t)p+tq,\qquad 0\le t\le1.$$

系数之和为$1$，所以它与坐标原点的选择无关。这类组合叫仿射组合。

3. 长度来自平方和

二维向量$v=(v_1,v_2)$ 的欧氏长度为

$$\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.$$

它就是勾股定理。上例$v=(3,4)$：

$$\|v\|=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

两点距离定义为位移长度：

$$d(p,q)=\|q-p\|.$$

4. 内积同时编码长度和角度

定义

$$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2.$$

把向量与自身做内积：

$$a\cdot a=a_1^2+a_2^2=\|a\|^2.$$

内积与夹角的关系是

$$a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos\theta.$$

从余弦定理推导

三角形三边可以取$a,b,a-b$。余弦定理给出

$$\|a-b\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2-2\|a\|\|b\|\cos\theta.$$

另一方面直接展开：

$$\begin{aligned} \|a-b\|^2 &=(a-b)\cdot(a-b)\\ &=a\cdot a-2a\cdot b+b\cdot b\\ &=\|a\|^2-2a\cdot b+\|b\|^2. \end{aligned}$$

比较两式，得到内积公式。

5. 正交与投影

若$a\cdot b=0$，且两者非零，则$\cos\theta=0$，所以$a,b$ 垂直。

把$v$ 投影到非零方向$a$ 上：

$$\operatorname{proj}_a(v) =\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a.$$

以$v=(3,4)$、$a=(1,0)$ 为例：

$$\operatorname{proj}_a(v)=3(1,0)=(3,0).$$

余量$(0,4)$ 与$a$ 垂直。最小二乘法和切空间分解都在重复这一思想。

6. 三维叉积与面积

三维向量$a,b$ 的叉积$a\times b$ 同时垂直于二者，长度为

$$\|a\times b\|=\|a\|\|b\|\sin\theta.$$

这等于由$a,b$ 张成的平行四边形面积，所以三角形面积为

$$A=\frac12\|a\times b\|.$$

三角网格中，取$a=p_1-p_0$、$b=p_2-p_0$ 即可计算面法向与面积。

7. 手算例子

设$a=(1,2)$、$b=(2,-1)$：

$$a\cdot b=1\cdot2+2\cdot(-1)=0.$$

所以它们垂直。长度都为$\sqrt5$。虽然坐标看起来不“横平竖直”，内积仍能识别正交。

8. 共形映射为什么关心内积

若线性映射$A$ 把任意向量长度统一乘以$\lambda$，并保持夹角，那么

$$(Aa)\cdot(Ab)=\lambda^2(a\cdot b).$$

用矩阵写就是

$$A^TA=\lambda^2I.$$

这将成为线性映射保角的精确判据。

9. 最小代码实验

import numpy as np

a = np.array([1.0, 2.0])
b = np.array([2.0, -1.0])

dot = a @ b
angle = np.arccos(np.clip(dot / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)), -1, 1))
print(dot)                 # 0.0
print(np.degrees(angle))   # 90.0

10. 常见误区

1. 坐标是数组，不代表所有数组都可以当点和向量混用。
2. $a\cdot b$ 是标量；$a\times b$ 在三维中是向量。
3. 两个零向量的夹角没有定义，因为公式分母为零。
4. 法向方向依赖三角形顶点顺序，交换两个顶点会反向。

11. 自测与答案

题 1。$p=(1,1)$、$q=(4,5)$，求距离。

答案。$q-p=(3,4)$，距离为$5$。

题 2。$(1,1)$ 在$(1,0)$ 上的投影是什么？

答案。$(1,0)$。

题 3。 为什么$a\cdot b=0$ 能说明非零向量垂直？

答案。 因为$a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos\theta$，非零长度使$\cos\theta=0$，故$\theta=\pi/2$。

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