CCG G03：移动标架、联络形式与曲面结构方程
模块定位
核心问题：不用沉重坐标展开，怎样用标架和微分形式推导曲率与 Gauss-Codazzi 方程？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- 模块 02 Hodge
- 模块 03 曲面几何
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| G03-01 | 正交标架 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-02 | 对偶余标架 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-03 | 联络 1-形式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-04 | Cartan 第一结构方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-05 | 曲率 2-形式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-06 | Cartan 第二结构方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-07 | 第二基本形式 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-08 | Gauss 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-09 | Codazzi-Mainardi 方程 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-10 | 测地曲率 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-11 | 平行移动与 holonomy | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| G03-12 | 标架规范变换 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- Cartan 结构方程
- Gauss-Codazzi 兼容条件
- 曲面基本定理
- 曲率形式与 Euler 类
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 用移动标架重新推导 Gauss-Bonnet
- 计算离散联络与 holonomy
- 理解 gauge-equivariant 几何学习的连续来源
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/moving-frames/
更新于：2026年10月12日