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复可微为何强迫局部映射成为旋转加统一缩放？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

把 $(x,y)$ 写成 $z=x+iy$ ，映射

f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

复导数要求极限

f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}

与 $h$ 接近 0 的方向无关。

沿实轴 $h=t$ ：

f'(z_0)=u_x+iv_x.

沿虚轴 $h=it$ ：

f'(z_0)=\frac{u_y+iv_y}{i}=v_y-iu_y.

相等得到 Cauchy–Riemann 方程：

\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.}

于是 Jacobian

J_f= \begin{bmatrix} u_x&u_y\\v_x&v_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&-b\\b&a \end{bmatrix}.

这正是复数乘法 $a+ib$ 的实矩阵：缩放 $\sqrt{a^2+b^2}$ 加旋转。

若 $f'(z_0)\ne0$ ，则 $f$ 在 $z_0$ 局部共形。若导数为 0，例如 $f(z)=z^2$ 在原点，则角度会乘以分支次数，不能称作局部微分同胚意义下的共形映射。