本课只解决一个问题

一条闭路能否在曲面内连续缩成一点？如何把所有闭路的缠绕方式组织成代数对象？

1. 路径

空间$X$ 中从$p$ 到$q$ 的路径是连续映射

$$\gamma:[0,1]\to X, \qquad \gamma(0)=p,\ \gamma(1)=q.$$

参数$t$ 可理解为时间。路径是整条映射，不只是它经过的点集；方向和走法都属于数据。

2. 闭路与基点

若$p=q=x_0$，则$\gamma$ 是以$x_0$ 为基点的闭路：

$$\gamma(0)=\gamma(1)=x_0.$$

基本群固定基点，是为了让两条闭路可以首尾连接。对路径连通空间，不同基点得到的基本群在同构意义下相同，但同构依赖连接路径。

3. 同伦是一族连续变形

两条同端点路径$\gamma_0,\gamma_1$ 同伦，是指存在连续映射

$$H:[0,1]\times[0,1]\to X$$

满足

$$H(t,0)=\gamma_0(t),\qquad H(t,1)=\gamma_1(t),$$

并固定端点：

$$H(0,s)=p,\qquad H(1,s)=q.$$

$s$ 是变形进度，$t$ 是路径上的位置。

4. 可缩闭路

常值闭路$c(t)=x_0$ 一直停在基点。若闭路$\gamma$ 与$c$ 同伦，就称$\gamma$ 可缩。

• 圆盘中的任何闭路都可缩；
• 穿孔平面中绕孔一圈的闭路不可缩；
• 环面上绕经向或纬向一圈的闭路不可缩。

这里不允许闭路穿过空间中不存在的孔，也不允许撕裂。

5. 闭路乘法

两条以$x_0$ 为基点的闭路$\alpha,\beta$ 可首尾拼接：

$$(\alpha*\beta)(t)= \begin{cases} \alpha(2t),&0\le t\le1/2,\\ \beta(2t-1),&1/2\le t\le1. \end{cases}$$

先走$\alpha$，再走$\beta$。反向路径

$$\alpha^{-1}(t)=\alpha(1-t)$$

扮演逆元。

6. 为什么要取同伦类

同一绕圈方式有无数条具体曲线。若把每条曲线都当成不同元素，信息过于冗余。

把彼此同伦的闭路归为一类$[\gamma]$，再定义

$$[\alpha][\beta]=[\alpha*\beta],$$

得到基本群

$$\pi_1(X,x_0).$$

群单位元是常值闭路类，逆元是反向闭路类。

7. 圆的基本群为什么是整数

圆上的闭路可以绕逆时针$n$ 圈，$n$ 也可为负表示顺时针。连续变形不能改变整数绕数。

拼接闭路会让绕数相加，所以

$$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z.$$

$0$ 表示可缩类，$1$ 表示逆时针一圈，$-2$ 表示顺时针两圈。

8. 环面的基本群

环面有两条基本方向：经向$a$、纬向$b$。绕它们的次数形成整数对$(m,n)$，并且两种绕法可交换：

$$\pi_1(T^2)\cong\mathbb Z\times\mathbb Z.$$

更高亏格曲面的基本群一般不交换。基本群比同调保留更多“先绕哪个洞”的信息。

9. 单连通

空间路径连通，且每条闭路都可缩，则称单连通。

• 圆盘、球面单连通；
• 圆、圆柱、环面不单连通；
• 穿孔平面不单连通。

单连通不等于没有边界。圆盘有边界但单连通；球面无边界也单连通。

10. 与参数化的关系

若目标是单一平面区域，而原曲面含不可缩闭路，全局一一参数化会受拓扑阻碍。常见处理：

• 沿生成元切开曲面；
• 转到通用覆盖空间；
• 使用周期边界条件；
• 在同调基上计算周期。

11. 常见误区

1. 基本群元素不是一条具体曲线，而是同伦类。
2. 闭路能在三维外部缩掉不算；变形必须始终留在曲面内。
3. “有孔”是直觉，严格区分依赖基本群或同调。
4. 基本群通常不交换，不能总用整数向量完全描述。

12. 自测与答案

题 1。 圆盘边界绕一圈的闭路在圆盘中可缩吗？

答案。 可缩，可以逐渐缩向圆心。

题 2。 同一闭路先正向走一遍再反向走一遍属于什么同伦类？

答案。 与常值闭路同伦，对应群单位元。

题 3。 为什么穿孔平面的基本群与圆相同？

答案。 穿孔平面可形变收缩到绕孔的圆，二者有相同同伦型，基本群均为$\mathbb Z$。

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