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双曲距离和欧氏距离为何不同，圆盘边界为何无限远？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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13. Poincaré 圆盘模型

单位圆盘上的双曲度量为

$$ds_{\mathbb H}^2 =\frac{4|dz|^2}{(1-|z|^2)^2}.$$

它与欧氏度量共形，所以欧氏角度与双曲角度相同，但长度不同。趋近单位圆时度量因子趋于无穷，边界位于无限双曲距离处。

测地线是与单位圆正交的圆弧或过原点的直径。亏格$g\ge2$ 曲面可表示为双曲平面的基本多边形按 Fuchsian 群粘合。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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