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正权凸组合为什么能给无翻转嵌入，假设缺一不可在哪里？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

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10. Tutte 嵌入定理

设平面图三连通，把外边界固定为严格凸多边形，每个内部顶点放为邻居的严格凸组合：

$$u_i=\sum_{j\in N(i)}\lambda_{ij}u_j, \qquad \lambda_{ij}>0,quad\sum_j\lambda_{ij}=1.$$

则所得直线嵌入没有边交叉，内部面不翻转。

10.1 证明思想

1. 每个内部顶点位于邻居凸包内；
2. 任意方向投影后，内部最大值只能沿连到边界的“最大值平台”传播；
3. 若发生折叠或交叉，可构造内部极值/分离结构，与三连通及凸边界矛盾。

10.2 为什么余切权重不自动满足定理

钝角的余切为负，因此$w_{ij}$ 可能为负。Tutte 的凸组合假设失效。常见选择：

• uniform weight$w_{ij}=1$：正，但畸变较大；
• mean value coordinates：对合适网格为正；
• intrinsic Delaunay triangulation：使内部边余切和非负；
• 直接用带 barrier 的无翻转优化。

11. 调和参数化

给边界顶点二维位置$z_B=(u_B,v_B)$，分别解

$$L_{II}u_I=-L_{IB}u_B,$$

$$L_{II}v_I=-L_{IB}v_B.$$

这最小化

$$E_D(z)=E_D(u)+E_D(v)$$

且固定边界。它是调和映射，但一般不严格共形，因为固定边界形状可能迫使内部发生角度畸变。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

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