本页只解决一个问题

二次代价下最优映射为何是凸函数梯度，质量守恒怎样成为非线性 PDE？

本页是原长篇讲义的单概念版本。第一次阅读只追踪本页定义的对象；看见未掌握的前置符号时，先沿链接退回，不要跳过定义硬背结论。

开始前

• 模块前置入口：先修页面
• 本页所属模块：最优输运与几何深度学习
• 集中复习版：原长篇参考讲义

8. 二次代价与 Brenier 定理

在$\mathbb R^n$ 中取

$$c(x,y)=\frac12\|x-y\|^2.$$

若源测度$\mu$ 对 Lebesgue 测度绝对连续，则最优 Monge 映射几乎处处唯一，且存在凸函数$u$：

$$\boxed{T(x)=\nabla u(x).}$$

这就是 Brenier 定理。

8.1 Monge–Ampère 方程

质量守恒：

$$\rho_\mu(x) =\rho_\nu(\nabla u(x))det D^2u(x).$$

因此凸势满足

$$\boxed{ \det D^2u(x) =\frac{\rho_\mu(x)}{\rho_\nu(\nabla u(x))}. }$$

这是完全非线性 PDE。凸性是椭圆性和唯一性的关键条件，不能省略。

读完必须能回答

1. 不看公式，用自己的话回答开头的核心问题。
2. 指出本页最重要公式中每个符号的类型：标量、向量、矩阵、映射还是集合。
3. 找出定理成立所需的假设，并举一个删除某条假设后可能失败的例子。
4. 对最小例子手算一遍；若本页含代码，再比较手算与程序输出。

前后课程

上一课：Wasserstein 距离与 W1 对偶 ｜ 下一课：半离散输运与 power diagram