CCG F02：线性代数、谱理论与张量基础
模块定位
核心问题：从向量空间到特征函数，几何算法中的矩阵究竟表达什么？
本页是“大而全”课程中的模块级教学提纲。每一个表格行都将独立成单概念短课；短课必须包含定义、推导、反例、计算例子和带答案自测，不能只给名词解释。
前置知识
- F01 证明语言
- 模块 00-04 至 00-06
逐课目录
| 编号 | 单概念课 | 展开标准 |
|---|---|---|
| F02-01 | 向量空间与子空间 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-02 | 基、维数与坐标 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-03 | 线性映射与矩阵表示 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-04 | 秩、核与商空间 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-05 | 内积与正交投影 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-06 | 最小二乘与伪逆 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-07 | 特征值与对角化 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-08 | 对称矩阵谱定理 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-09 | 正定二次型 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-10 | SVD 与极分解 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-11 | Kronecker 积与张量 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
| F02-12 | 稀疏矩阵图结构 | 从直觉、定义、最小例子、定理条件到计算用途 |
理论主线
- 秩-零度定理
- 正交投影定理
- 实对称矩阵谱定理
- 奇异值分解与最佳低秩逼近
- Rayleigh 商与变分特征值
计算与证明双线要求
学习本模块时，每个理论点都必须同时回答：
- 对象的严格定义是什么；
- 最小非平凡例子是什么；
- 定理使用了哪些假设；
- 去掉假设后有什么反例；
- 连续对象怎样离散存储；
- 离散算法怎样验证正确性和收敛性。
模块出口能力
- 判断参数化系统的零空间
- 用 SVD 分析 Jacobian 畸变
- 解释图 Laplacian 特征向量的几何意义
状态说明
本模块已经进入课程总图谱并完成逐课拆分。后续内容扩写按编号进行，不会再把整组理论压回一篇长文章。
许可协议：CC BY
作者：Davids
本文链接：https://hustjjd.github.io/ccg/atlas/linear-algebra/
更新于：2026年10月12日